피타고라스 삼각법의 성질에 대한 증명

삼각함수의 단위원의 정의에 대하여 복습하겠습니다 이 그림이 단위원입니다 단위원은 반지름이 1인 원입니다 이 좌표점은 (1,0)입니다 이 좌표점은 (1,0)입니다 x좌표는 1이고 y좌표는 0입니다 이 좌표점은 (0, 1)입니다 이 점은 (-1, 0)입니다 이 점은 (0, -1)입니다 여기서 이 원의 반지름 즉, 원 위의 임의의 점에서 부터 중심까지의 거리는 항상 1로 일정합니다 거리는 항상 1로 일정합니다 삼각함수의 단위원의 정의에 따라서 이 단위원이 바뀝니다 그래서 정의로 불리는 것입니다 그리고 이 단위원에서 각도의 한 반직선이 x축의 양의 방향이고 각도의 다른 한 반직선이 단위원과 만나는 점을 생각해야합니다 이 각도를 세타라고 합시다 그리고 세타의 사인과 코사인을 x축의 양의 방향이 아닌 반직선과 단위원의 교차점의 x좌표와 y좌표로 정의합니다 x좌표와 y좌표로 정의합니다 예를 들면 이 좌표점의 x좌표는 cos 𝜃 라 부를 것입니다 반대로 y좌표는 여기서는 sin 𝜃 라고 부를 것입니다 앞의 단위원에 관한 동영상 강의에서 이것이 어떻게 sin cos tan 함수 정의의 자연스러운 연장선인지 알려드렸습니다 음의 각도와 둔각과 예각 직각 등에 모든 각에 대하여 단위원을 활용할 수 있어서 단위원은 삼각함수에 있어서 매우 유용합니다 이 동영상은 결국 저희가 알고 있는 것을 이용하여서 피타고라스 삼각함수 정리를 증명해 보겠습니다 이 좌표점들이 원주위에 있다는 것을 눈여겨 보세요 반지름이 1이고 중심이 원점인 원의 방정식은 무엇입니까? 이는 x²+y²=1로서 앞선 동영상에서 증명하였습니다 두 점사이의 거리의 공식을 이용하여서 원의 방정식을 증명하였습니다 다시 한번 말하자면 반지름이 1이고 원점이 중심인 원의 방정식은 x²+y²=1 입니다 x²+y²=1 입니다 이 좌표점과 원점의 거리는 1과 같습니다 앞에서 말했듯이 코사인 세타는 이 좌표점의 x좌표로 정의할 것이고 sin 𝜃 는 이 점의 y좌표로 정의할 것이라고 하였습니다 그리고 이 좌표는 원주 위에 있습니다 그러므로 앞선 원의 방정식을 만족해야합니다 저희가 cos 𝜃 를 x좌표로 정의하였으므로 이 원의 방정식에 이 삼각함수값으로 대입하여도 이 원의 방정식을 성립할 것입니다 그러므로 cos²𝜃+sin²𝜃=1을 만족하여야 합니다 그러므로 cos²𝜃+sin²𝜃=1을 만족하여야 합니다 즉 cos²𝜃+sin²𝜃=1을 만족하여야 합니다 즉 cos²𝜃+sin²𝜃=1을 만족하여야 합니다 cos 과 sin 의 정의를 이용하여서 원의 방정식을 성립한다는 조건을 사용하여서 증명한 것입니다 cos²𝜃+sin²𝜃=1 을 봅시다 cos²𝜃+sin²𝜃=1 을 봅시다 다른 동영상에서 봤듯이 이는 피타고라스의 삼각정리입니다 이 공식이 왜 유용하는지에 의문이 생길 수 있습니다 이를 이용하면 sin 값을 알고 있으면 그 각도의 cos 값을 구할 수 있기 때문입니다 또는 cos 값을 알고 있으면 똑같은 각도의 sin 값을 구할 수 있기 때문입니다 또한 이렇게 sin 값과 cos 값을 구하여서 tan 값을 구할 수도 있습니다 이 공식이 왜 피타고라스의 삼각정리로 불리우냐면 원의 방정식에서 부터 유도되었기 때문입니다 이 좌표점을 봅시다 이 좌표점을 봅시다 x 값이 cos 𝜃 라고 하고 y 값이 sin 𝜃 라고 하면 원점과의 거리가 얼마입니까? 이를 생각하려면 직각삼각형을 그리면 됩니다 이 x축 위의 거리는 모든 각도에 대하여 구할 수 있도록 cos 𝜃의 절대값이라고 정의하겠습니다 cos 𝜃의 절대값이라고 정의하겠습니다 그리고 이 높이는 sin 𝜃의 절대값이라고 정의 하겠습니다 제 1사분면에서는 절대값을 취할 필요는 없지만 다른 사분면으로 가면 음수가 되기 때문에 매번 다르게 거리를 정의해주어야 합니다 그리고 매번 다른 직각 삼각형을 그려주어야 합니다 피타고라스의 삼각정리에 의해서 무엇을 알 수 있습니까? 여기서 이 삼각형은 직각 삼각형이고 빗변의 길이는 1입니다 이 빗변의 제곱은 ⎜cos 𝜃⎟² 과 ⎜sin 𝜃⎟² 의 합 즉 밑변과 높이의 제곱의 합이 빗변의 길이의 제곱과 같다는 것을 알 수 있습니다 즉 1과 같습니다 이는 앞에서 증명한 식과 같습니다 왜냐하면 어떤 값을 제곱하게 항상 양수가 되기 때문입니다 항상 양수가 되기 때문입니다 그러므로 절대값이 있는 식과 없는 식은 동일한 식임을 알 수 있습니다 그러므로 이 공식이 피타고라스의 삼각함수의 정리입니다 원의 방정식도 빗변이 1인 직각삼각형에서의 피타고라스의 정리에서 파생됩니다