미적분학의 기본 정리 증명

우리에게 함수가 있다고 해 봅시다 구간 a부터 b까지 연속인 함수 f죠 이제 그걸 시각화해 봅시다 이건 y축이고요 여기 오른쪽에 저는 t축을 그릴 겁니다 x는 조금 이따가 쓸거예요 그래서 전 이걸 t-축이라 부를 겁니다 그리고 여기 이건 t에 관한 함수 f의 함숫값 y의 그래프입니다 우리는 이것이 a에서 b까지의 구간에서 연속이라고 말하죠 이것은 t가 a일 때 이것은 t가 b일 때 입니다 그래서 우리는 이것이 이 구간 전체에서 연속이라고 하는 거죠 자, 재미를 위해 x에 관한 함수 F를 정의해 봅시다 파란색으로 쓸게요 x에 관한 함수 F를 이렇게 정의합시다 아래끝 a부터 위끝 x까지 t에 관한 함수 f를 정적분한 값으로요 x는 이 구간 내에서 a 이상 b 이하의 값을 가집니다 다르게 표현하자면 x가 여기 있는 구간 내에 있다는 뜻이죠 자, 당신이 이걸 보면 오 정적분이 미분과 부정적분 등등과 관련이 있구나 하겠죠 그렇지만 우린 아직 몰라요 우리가 지금 아는 건 이것이 a부터 x까지 곡선 f 아래의 면적이라는 것이죠 a부터 여기가 x라고 합시다 그러니 F(x)는 딱 여기 영역의 넓이죠 우리가 아는 건 그게 다에요 우리는 이게 부정적분과 관련이 있는지를 모릅니다 아직까지는요 그게 우리가 이 영상에서 증명하려는 거에요 심심하니까, F의 도함수를 구해 보죠 우리는 이것을 그냥 도함수의 정의를 사용해서 할거에요 그리고 도함수의 정의를 이용해 도함수를 구해 나온 결과를 볼 거에요 그래서 도함수 F'(x)는 도함수의 정의를 이용하면 Δx가 0으로 가는 극한을 취할 때 대문자 F에 x 더하기 Δx 빼기 F(x) 한 값을 Δx로 나눈 것이죠 이건 그냥 도함수의 정의에요 그래서 이게 뭐랑 같죠? 흠, 제가 바로 여기 위에 있는 적분을 사용해서 다시 써 볼게요 이것은 극한값과 같습니다 Δx가 0으로 갈 때요 F의 x 더하기 Δx 값이 뭐죠? 흠, 여기 x에다가 넣어 봐요 당신은 a에서 x 더하기 Δx까지 t에 관한 함수 f의 정적분 값을 얻을 거에요 그리고, 당신은 이 F(x)를 빼야죠, 우리가 이미 아는 값입니다 a부터 x까지 t에 관한 함수 f를 적분한 값이라고 써 놨죠 그리고 Δx로 다 나누어 줍니다 자, 이것이 뭘 의미하죠? 기억하세요, 우리는 정적분에 대해 아무것도 모릅니다 원시함수를 이용해 무언가를 하는 것 등등도 모르죠 우리는 그냥 이것이 a부터 x 더하기 Δx까지 곡선 f 아래의 면적이라는 것만 알아요 그 총 면적은 여기가 될 거고요 이게 여기 부분이고요 우리는 이 파란 게 뭔지 이미 알아요 파란색으로 쓸게요 여기 있는 파란 것은 여기 이 부분과 같고요 아까 색칠했었죠 여기 부분과 같습니다 그래서 당신이 이 초록색 면적에서요 a부터 x 더하기 Δx까지요, 여기에서 분자에 쓰인 그대로 파란 부분을 빼면 뭐가 남아요? 바로 이게 남겠죠 무슨 색 안 썼죠? 분홍색으로 쓰겠습니다 아, 아니다 이미 썼군요 이 보라색을 쓸게요 딱 여기 있는 영역이 남을 거에요 이걸 다르게 어떻게 표현하죠? 흠 다르게 어떻게 쓰냐면 x부터 x 더하기 Δx까지 t에 관한 함수 f를 적분한 값이 되겠죠 이 전체 표현을 다시 쓸 수 있게 됩니다 F의 도함수, F 프라임 x를 다시 써 볼게요 Δx가 0으로 가는 극한을 취할 때 Δx 분의 1에 분자를 곱하고 우리는 이미 분자가 뭔지 찾아 냈습니다 초록색 면적 빼기 파란색 면적을 한 보라색 영역이죠 그 영역을 표현하는 다른 방법이 바로 여기 있는 표현입니다 Δx 분의 1 에 t에 관한 함수 f를 x 부터 x 더하기 Δx까지 적분한 값을 곱해 줍니다 자, 이 표현 재밌네요 이건 정적분의 평균값 정리와 비슷하게 생겼군요 정적분의 평균값 정리는 구간에 어떤 c가 존재한다는 것을 알려 줘요 언제 그렇냐면- 이렇게 써 볼게요 c가 a 이상일 때, 더 분명하게 짚고 가자면 우리가 신경 쓰는 구간은 x부터 x 더하기 Δx까지죠 x가 c보다 작거나 c랑 같아야 해요 c는 x 더하기 Δx 이하여야 하고요 그러면 c에서의 함숫값이 - 그려 볼게요 여기 어딘가 c가 있고요 c에서의 함숫값이 이렇게 나오죠 c에서의 함숫값을 표시하자면 여기일 수밖에 없겠죠 이 선의 길이니까요, 여기에 구간의 길이를 곱하면요 구간의 길이를 곱하면요 구간의 길이는 Δx겠죠 x 더하기 Δx에서 x를 빼면 Δx가 남겠죠 그래서 우리가 길이에 구간 길이를 곱해 주면 곡선 아래 면적과 같아져요 x부터 x 더하기 Δx까지 t에 관한 함수 f를 적분한 값이요 이것이 적분의 평균값 정리지요 만약 f가 연속인 함수라면, 두 개의 양끝점을 가지는 구간 내 어떤 c가 하나 존재해서 c에서의 함숫값이 평균 높이가 되어 주죠 그 평균 높이를 취해서 구간의 길이를 곱해 주면 곡선 아래 넓이를 얻게 됩니다 이걸 다르게 쓰는 방법은 구간 내 어떤 c가 존재해서 f(c)가 Δx분의 1에다가 - 그냥 양변을 Δx로 나눈 거에요 - t에 관한 함수 f를 x부터 x 더하기 Δx까지 정적분한 값을 곱해 준 것과 같다고 말할 수 있겠죠 이것이 보통 구간 내 함수의 평균값으로 여겨집니다 왜일까요? 여기 이 부분이 면적을 의미하는데 구간의 길이로 나눠 주면 평균 높이가 나올 테니까요. 또 다르게 표현하는 방법은 여기 높이를 취해서 구간의 길이를 곱해 주면 곡선 아래 면적과 같은 넓이의 직사각형이 나온다고 할 수 있죠 흠, 이것은 유용합니다 왜냐면 이것이 바로 F의 도함수 값이기 때문이죠 그러므로 분명 c가 존재할 거에요 F(c)가 이것과 일치하는 c가요 새로운 색깔로 다시 다 써 보도록 하죠 구간 내 어떤 c 하나가 존재합니다 x에서 x 더하기 Δx까지의 구간에서요 F의 도함수가 이것과 같을 때요 이제 Δx가 0으로 갈때의 극한이라고 표현할 수 있죠 이걸 쓰는 대신 우리는 이것과 같은 함숫값 f(c)가 어떤 c에 대해 존재함을 압니다 거의 다 왔어요 우리는 Δx가 0으로 갈 때 함숫값 f(c)가 어디로 가는지만 알면 됩니다 그리고 중요한 부분이 여기 있죠 우리는 c가 x와 x 더하기 Δx 사이에 늘 끼어 있다는 것을 압니다 직관적으로 봤을 때 Δx가 0으로 가면, 이 초록 선이 계속 왼쪽으로 가서 파란 선을 만나면, c가 그 사이에 있어야 합니다 그러니까 c는 x를 향해 갈 거에요 우리는 직관적으로 c가 Δx가 0으로 가면 x로 간다는 것을 알아요 이걸 다르게 표현하자면 Δx가 0으로 갈 때 f(c)가 f(x)에 간다고 할 수 있죠 그러므로 직관적으로 우리는 이것이 f(x)와 같을 것을 압니다 자 이제 당신은 말하겠죠 직관적인 것도 좋지만 증명을 좀 해 봐, Sal x가 c로 다가간다는 걸 확실히 이해시켜줘 이 작은 것을 단순히 그림을 그려서 하지 말란 말이야 c가 점점 x로 다가간다는 것이 말이 되긴 하는데 그걸 원하신다면, 당신은 Squeeze theorem (압축 정리, 샌드위치 정리)를 써도 됩니다 압축 정리를 쓰려면 c를 Δx에 대한 함수로 보면 됩니다 실제로 그렇고요 Δx에 의존해서, c는 왼쪽으로 또는 오른쪽으로 갈 거에요 그러므로 저는 이 표현을 c가 x 이상 x 더하기 Δx 사이에 있을 때라고 써도 되겠죠 그럼 이제 c가 언제나 x와 x 더하기 Δx 사이에 끼어 있음을 알 수 있죠 그런데 Δx가 0으로 갈 때 x의 그간이 뭐였죠? x는 Δx와 관련이 없으니까, 그냥 x가 되겠죠 그럼 x 더하기 Δx의 극한은 뭐죠? 흠, Δx가 0으로 가면, 이건 그냥 x가 되겠죠 그러니가 만약 이것이 Δx가 0으로 갈때 이 함수보다 작으면서 이것이 Δx가 0으로 갈 때 x로 갈 때 항상 이것보다 크다면, 우리는 압축 정리 또는 샌드위치 정리로부터 Δx가 0으로 갈 때 Δx에 대한 함수 c 역시 x가 된다는 것을 알 수 있습니다 이것은 양쪽과 같은 값으로 다가가야 해요 사이에 끼어 있으니까요 그래서 압축 정리에 따라 더 엄격한 방식으로 결과를 얻어 냈습니다 Δx가 0으로 가면, c는 x로 갑니다 만약 c가 x로 가면 f(c)는 f(x)로 다가갑니다 그러면 우리는 증명을 얻어냈습니다 F는 연속인 함수입니다 우리는 이렇게 F를 정의했고 우리는 도함수의 정의를 통해서 F의 도함수가 f(x)임을 알아냈습니다 한 번더 묻죠, 이게 왜 중요하죠? 흠, 이것은 어떤 연속 함수 f 에서든 - 우리가 가정했듯이요 우리는 f가 구간 내에서 연속이라 했었죠- 어떤 함수가 존재하여 -이 어떤 함수는 이런 방식으로 구간의 양 끝점의 넓이나 시작점 a부터 x까지의 면적을 정의하도록 하면 됩니다- 만약 그런 식으로 어떤 함수를 정의하면, 그것의 도함수는 연속 함수 f와 같게 됩니다 이걸 다르게 표현하는 방법은 모든 연속 함수는 부정적분을 가진다는 것입니다 이거 좀 멋있는 거에요 어떤 연속 함수든 부정적분을 가진다니요 그것은 F(x)가 될 거에요 이것이 미적분의 기본 정리라고 불리는 이유입니다 그 두 가지 개념을 연결해주니까요 미분학에서 당신은 미분을 배웠죠 그리고 적분학에서는 적분에 대해 배웠습니다 이 증명 전까지, 우리는 적분을 모두 곡선 아래 면적으로만 봤어요 이것은 그냥 곡선 아래 면적을 표시하는 기호였습니다 그러나 우리는 이제 연결고리를 찾았죠 적분과 미분 사이의 또는 적분과 부정적분간의 관계도 특별히 알게 되었죠 그래서 이것은 모든 미적분학을 통합하는 강력한 도구입니다 -우린 여기 너무 익숙해져서 너무 당연하게 말할 수 있지만 당연한 게 아닙니다 기억하세요, 우린 언제나 적분을 부정적분 비슷하게 생각했지만 명확하지는 않았어요 만약 당신이 적분을 면적으로만 봤다면, 당신은 이 과정을 거쳐 와, 이게 미분과 연결이 되는구나 알아 냈겠죠.