삼각형의 닮음 & 삼각비

여기 2개의 직각삼각형이 있습니다 그리고 두 삼각형 모두 θ인 각을 갖고 있습니다 즉 각 A와 각 D가 같습니다 이제 이 두 삼각형에 대해서 뭘 알 수 있을까요? 어떤 삼각형이든 두 개의 각을 알고 있으면 나머지 각도 알 수 있습니다 삼각형에서 세 각의 합이 180도이기 때문입니다 다시 말해서 두 각이 같으면 세 각이 같다는 것과 같습니다 그런 경우에는 두 삼각형은 닮음 관계에 있습니다 이 각을 θ라고 하면 θ는 90도가 됩니다 세 각을 모두 더하면 180도가 되어야 하므로 이 두 각을 합치면 90도가 되어야 합니다 이 각이 90도이므로 각 A와 각 B는 합쳐서 90도가 되어야 하겠죠 따라서 이 각은 90-θ가 됩니다 여기에서도 같은 논리로 이 각이 90도이므로 θ와 이 각을 합쳐 90도가 되어야 합니다 따라서 이 각은 90-θ가 될 겁니다 두 삼각형의 세 각이 모두 같으므로 이 삼각형들은 닮은 삼각형입니다 이 사실에 주목해야 할 이유는 닮은 삼각형에서 변의 길이의 비가 닮은 삼각형에서 변의 길이의 비가 항상 일정하기 때문입니다 그럼 대응되는 변을 찾아봅시다 우리가 직각삼각형을 다룰 때 가장 먼저 눈에 띄는 것은 바로 빗변입니다 왼쪽 삼각형의 빗변은 오른쪽 삼각형의 빗변에 대응됩니다 이 변이 왼쪽 삼각형의 빗변이고 이 변은 오른쪽 삼각형의 빗변입니다 왼쪽 삼각형에서 변 BC는 어떤 변에 대응될까요? 이 삼각형에서 보면 이 변은 각 θ의 대변입니다 이 변은 각 θ의 대변입니다 이 각의 반대편에 이 변이 위치합니다 각 D의 대변을 찾아봅시다 각 A의 대변은 변 BC였습니다 각 D의 대변은 변 EF입니다 따라서 변 BC는 변 EF에 대응됩니다 마지막으로 변 AC가 남았습니다 이렇게 생각해봅시다 각 A를 만드는 두 변이 있습니다 하나는 빗변이고 나머지 하나가 변 AC입니다 D가 A에 대응되는 점이므로 이 변이 변 AC에 대응되는 변입니다 대응하는 변들을 찾은 이유는 닮은 삼각형에서 세 변의 비가 항상 일정하다는 것을 쓰기 위해서입니다 예를 들어 변 BC와 빗변 사이의 비는 예를 들어 변 BC와 빗변 사이의 비는 변 EF와 변 ED 사이의 비와 같습니다 변 EF와 변 ED 사이의 비와 같습니다 또 다른 예를 살펴보면 이 삼각형에서 변 AC와 빗변의 비는 이 삼각형에서 변 AC와 빗변의 비는 변 DF와 변 DE의 비와 같습니다 이것이 성립하는 이유는 두 삼각형이 닮은 관계에 있기 때문입니다 따라서 이것은 DF/DE와 같습니다 따라서 이것은 DF/DE와 같습니다 다른 것도 한 번 해봅시다 왼쪽의 삼각형에서 파란색 변과 초록색 변의 비를 생각해봅시다 변 BC와 변 CA의 비는 오른쪽 삼각형에서 변 EF와 변 DF의 비와 같습니다 변 EF와 변 DF의 비와 같습니다 이러한 것들이 성립하는 이유는 두 삼각형이 닮음 관계이기 때문입니다 즉, 이러한 관계들은 각 중 하나가 θ인 직각삼각형에서 항상 성립할 것입니다 그러한 삼각형들은 닮음 관계에 있으므로 이러한 식들이 항상 성립하게 됩니다 이 비율들에 대해 θ와 관련지어 이름을 지어줍시다 각 θ와 연결지어 생각해봅시다 이 비율이 의미하는 것이 무엇일까요? 이 비율이 의미하는 것이 무엇일까요? 파란색 변은 θ의 대변입니다 각 θ의 반대편에 있죠 주황색 변은 빗변입니다 θ와 연결지어서 표현해보면 이 비율은 대변과 빗변의 비가 됩니다 계속 각 θ와 관련지어 봅시다 만약 다른 각 기준으로 생각하면 표현이 달라질 겁니다 각 B 기준에서 보면 변 BC는 각 B와 인접한 변입니다 이 관계에 대해서는 나중에 생각해 봅시다 지금은 먼저 각 θ를 기준으로 생각해 봅시다 그럼 이 비율은 어떻게 나타낼 수 있을까요? 변 AB와 변 DE는 빗변입니다 변 AC와 변 DF는 어떻게 표현할 수 있을까요? 이 두 변들은 각 θ를 형성하는 변 중 빗변이 아닌 변들입니다 따라서 두 삼각형에서 이 비율은 빗변과 각에 인접한 변 사이의 비입니다 각 B를 기준으로 하면 달라지지만 각 A, 즉 θ를 기준으로 하면 각 A, 즉 θ를 기준으로 하면 또는 여기 각 D를 기준으로 하면 변 AC는 각 A에 인접한 변이고 변 DF는 각 D에 인접한 변입니다 따라서 이 비율은 인접한 변과 빗변의 비와 같습니다 또한 이는 한 각이 θ인 모든 직각삼각형에서 성립합니다 마지막으로 이 부분을 살펴봅시다 변 EF는 각 θ의 대변입니다 변 EF는 각 θ의 대변입니다 두 삼각형에서 이 비율은 대변과 인접한 변의 비와 같습니다 대변과 인접한 변의 비와 같습니다 여기서 제가 강조하고 싶은 것은 앞으로 수많은 예를 통해 확실히 알게 되겠지만 세 각 중 하나가 θ인 모든 직각삼각형에서는 세 각 중 하나가 θ인 모든 직각삼각형에서는 각 θ의 대변과 빗변의 비가 일정하다는 것입니다 삼각형의 닮음 관계 때문이죠 각 θ에 인접한 변과 빗변 사이의 비도 각 θ에 인접한 변과 빗변 사이의 비도 세 각 중 하나가 θ인 모든 직각삼각형에서는 일정하게 나타납니다 각 θ의 대변과 인접한 변의 비도 각 θ의 대변과 인접한 변의 비도 다시 말해 파란색 변과 초록색 변의 비도 항상 일정합니다 닮은 삼각형이기 때문이죠 그래서 수학자들은 이 비율들에 이름을 붙였습니다 각 θ에 대해서 이 비는 항상 일정하므로 대변과 빗변의 비는 sinθ라고 부릅니다 sinθ라고 부릅니다 이것이 sinθ의 정의입니다 나중에 이 개념은 좀 더 확장될 겁니다 이 비율은 cosθ라고 부릅니다 이 비율은 cosθ라고 부릅니다 이 비율은 tanθ라고 정의합니다 이 비율은 tanθ라고 정의합니다 이것을 쉽게 암기할 수 있는 방법이 있습니다 사람들은 닮은 삼각형에서 이 비율이 항상 같다는 것을 알아냈습니다 닮은 삼각형에서는 이 비율도 항상 일정하게 나타납니다 마찬가지러 이 비율도 항상 일정합니다 그래서 이런 개념들을 정의한 것이죠 이것을 쉽게 외우는 방법은 soh-cah-toa를 기억하는 것입니다 sin은 대변/빗변입니다 cos은 각에 인접한 변/빗변입니다 cos은 각에 인접한 변/빗변입니다 마지막으로 tan는 대변/각에 인접한 변입니다 마지막으로 tan는 대변/각에 인접한 변입니다 다음에는 오늘 배운 개념들을 삼각함수에 적용해 보겠습니다