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주요 내용
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동영상 대본

방금 이 문제를 받았는데 이 문제는 꽤 어렵습니다 일반적인 문제들보다 훨씬 어렵습니다 영상이 도움이 되기를 바랍니다 문제를 처음 봤을 때 요지를 파악하지 않으면 지루하게 느껴질 수 있습니다 위 그림은 포물선이며 y = x² 의 그래프입니다 이 곡선을 나타내는 식이지요 1사분면에서 포물선에서 만나고 그 점에서 포물선에 수직인 직선을 법선이라고 정의합시다 여기가 첫 번째 사분면입니다 법선은 1사분면의 교차선이 포물선과 수직인 선입니다 우리가 여기에 접선을 그리면 법선은 접선에 수직입니다 이게 말하려는 전부입니다 파란색으로 표시하는 선이 법선입니다 모두 이해하셨나요? 그림에 5개의 법선이 있습니다 1, 2, 3, 4, 5 좋습니다 이 선들은 다 수직으로 보이고 1사분면의 포물선의 법선으로 보입니다 그래야 앞뒤가 맞습니다 2사분면에서 만나는 법선의 x좌표는 작아집니다 1사분면의 교차점의 x좌표가 작아지면서 첫번째 교차점의 x좌표가 작아지는 상황을 봅시다 이게 제가 잠시 뛰어넘은 부분입니다 제가 이 점에서 시작하면 x좌표가 이렇게 보일 것입니다 밑으로 가봅시다 x좌표는 바로 여기입니다 제가 x좌표를 줄여나가면 이 법선에 무슨일이 일어날까요? 혹은 더 중요한 2사분면의 법선과의 교차점에는 무슨일이 일어날까요? 여기가 2사분면입니다 더 큰 x값에 대해서 법선은 2사분면의 이 점과 교차합니다 그래서 x좌표를 줄이면 2사분면 교차점의 x좌표는 여기로 갑니다 사실 표현이 좀 별로입니다 2사분면의 교차점이 작아진다고 말하고 있지만 사실은 작아지는게 아닙니다 덜 음수쪽으로 가는 것입니다 '작다'를 절댓값으로 이해하시면 될 것입니다 즉 덜 음수로 가는겁니다 이렇게 움직이는데 사실은 더 큰 수가 되는 것입니다 작은 음수가 되지만 더 큰 수가 되는 것입니다 하지만 절댓값으로 생각해보면 작아지는 것입니다 이 점에서 저 점으로 움직일 때 1사분면의 교차점을 움직이면서 2사분면의 교차선도 약간 움직입니다 이 선에서 저 선으로 이 설명이 꽤 합당합니다 결국 2사분면 교차점의 법선은 작아질 수 있는 만큼 작아집니다 1사분면의 x좌표를 계속 줄여나가면 즉 1사분면에서 계속 당기면 이 점에 도달합니다 이 점은 2사분면에서 교차합니다 저기서 1사분면의 x값을 더 작게하면 법선이 2사분면과 더 음의 좌표에서 교차합니다 그래서 이게 가장 큰 값 혹은 법선이 2사분면에서 교차할 수 있는 절댓값으로 가장 작은 값으로 볼 수 있습니다 명확히 해봅시다 1사분면 교차점의 x값이 클 때 2사분면 교차점의 x값은 음의 값으로 큽니다 여기 x좌표를 줄이면 여기는 음의 값으로 작아집니다 가장 작은 음의 값인 점에 도달한 다음에 x 값을 더 줄이면 2사분면의 법선들은 다시 밀립니다 글에서 설명하는 것이 이 내용입니다 두꺼운 선이 극단적인 법선입니다 진한 선이 극값입니다 극한 법선말입니다 이 점을 지나서 x좌표를 더 당기면 2사분면의 교차선은 약간 밀기 시작합니다 당신은 극한 상황을 생각해 볼 수 있습니다 여기서 법선을 그리면, 2사분면의 교차선은 여기 밖 어딘가에 생길겁니다 점근선처럼 보이지만 자세한 것은 확인해야 합니다 문제의 나머지 부분을 읽어봅시다 법선이 극한 법선을 지나면 포물선과의 2사분면 교차점의 x좌표는 커지기 시작합니다 이 문제에서 증가한다는 말은 더 음수가 된다는 말입니다 이 말은 잘못되었습니다 더 음수가 된다고 바꾸겠습니다 혹은 음수쪽으로 커진다고 이해하십시오 이 아래에 도달하면 교차점의 x좌표는 2사분면 에서 밀어내기 시작합니다 그림은 2쌍의 법선을 보여줍니다 2개의 법선은 2사분면 교차점에서의 x좌표가 같지만 한 법선은 1사분면의 극한 법선 위에 있고 다른 한 법선은 그 아래에 있습니다 맞는 말입니다 예를 들어 이 법선은 x값이 클 때인데 2사분면과 저기에서 교차합니다 그리고 나서 x값을 계속해서 줄여나가면 극한 법선을 지나서 저 점에 도달합니다 그리고 교차하는 이 점은 사실 이 점으로 갑니다 당신이 x값을 충분히 당기면 다시 한번 2사분면의 같은점에서 교차할 것입니다 여러분이 이 문제에 대한 의미를 이해하도록 노력하고 있습니다 좋습니다 결국 구하는 것이 무엇인가요? 이 영상에서는 첫 번째 파트만 다루고 남은 부분은 다른 영상에서 다루겠습니다 극한 법선의 방정식을 찾으세요 처음에는 매우 힘들어 보이지만 이미 미분이나 직선에 관해서는 잘 알고 있습니다 곡선의 임의의 점에서의 접선의 방정식은 무엇일까요? 그냥 y는 x제곱을 미분하면 y의 도함수는 2x입니다 이것이 임의의 x점에서의 접선의 기울기입니다 x0 에서 접선의 기울기를 알고 싶다면 그냥 단순히 기울기는 2x0 라고 말할 수 있습니다 아니면 f '(x0)가 2x0라고 말하겠습니다 이것은 임의의 x0에서의 접선의 기울기입니다 법선의 기울기는 이것에 수직입니다 수직선의 기울기는 음의 역수입니다 따라서 법선의 기울기는 2x0의 음의 역수가 됩니다 즉 -1/2x0가 됩니다 합당합니다 그러면 x0에서의 법선의 방정식은 무엇일까요? 이게 질문의 x0입니다 저기 법선의 방정식은 무엇일까요? 우리는 점 기울기 형태를 사용할 수 있습니다 우리 방정식의 이 점은 법선위에 있습니다 저 점이 (x0, x0제곱)입니다 이 그래프가 y=x^2 이기 때문입니다 그래서 법선은 이 점도 가질겁니다 기울기를 아는 직선에 대해 식을 표현하는 법은 이미 알고 있으니 이를 활용하겠습니다 y - y0 는 y - x0² 이고 법선의 기울기와 같아서 2x0 분의 -1 곱하기 x 빼기 x좌표가 되므로 빼기 x0입니다 이것이 법선의 방정식입니다 봅시다 우리가 관심있는 것은 x0가 0보다 클때입니다 선이 1사분면에 있을 경우만 보면 저기 값들에 속하는 그래서 이게 저의 법선의 방정식입니다 x의 관점에서 풀어봅시다 y는 x의 함수입니다 양변에 x0 제곱을 더하면 y는 일단 이걸 곱하면 -1/2x0 곱하기 x 더하기 왜냐하면 -곱하기 -이기때문에, +1/2입니다 x0과 x0이 만나서 지워졌습니다 그 다음에 x0를 양변에 더합니다 지금까지 정리한 결과입니다 그리고 이것을 양변에 더해야 합니다 그러면 우변에 더하기 x0 제곱이 생깁니다 이것이 mx + b 꼴의 법선의 방정식입니다 이것이 m에 해당하는 기울기고 이것은 y 절편입니다 b에 해당합니다 여기서 무엇을 봐야하나요? 우리는 이것이 어디서 교차하는지가 궁금합니다 포물선과 어디서 교차하는지 그리고 포물선은 그냥 y는 x0 제곱입니다 어디서 교차하는지 알기 위해서는 두 y의 도함수가 같아야 합니다 교차하는 곳에서의 x좌표에서 y좌표는 서로 같아야합니다 아니면 그냥 이것을 y로 대체할 수 있습니다 그러면 x제곱이 -1/2x0 곱하기 x 더하기 1/2 더하기 x0 제곱입니다 합당합니다 이것을 이차방정식의 형태로 놓고 2차방정식을 풉시다 이것들을 전부 좌변으로 이항합시다 그러면 x제곱 + 1/2x0 곱하기 x 빼기 이것들, 1/2 + x0제곱 = 0 입니다 이것들을 좌변으로 넘겼습니다 이것은 그냥 2차 방정식이기 때문에 이것을 만족하는 x값을 알 수 있습니다 그러면 법선이 포물선과 교차하는 x값을 알 수 있는 것입니다 2차 방정식을 여기에 적용해봅시다 교차하는 x좌표의 값은 -b, 그냥 이차방정식이 근의 공식에 대입하는 중입니다 -b는 -1/2x0 이고, 거기에 플러스 마이너스 루트 b제곱 저게 제곱이고 즉 1/4x0제곱 -4ac입니다 -4 곱하기 1 곱하기 이거 -곱하기 -는 +이기 때문에 그냥 저거의 4배입니다 그래서 더하기 4 곱하기 이거 4곱하기 이거는 2+4x0제곱 입니다 4ac가 여기 부분입니다 사실은 -4ac이지만 -와 -가 곱해져서 +가 생겼습니다 저기 1이 있고 4 곱하기 c는 2+4x0제곱 입니다 저는 그냥 이거를 2배한거라서 이 전체를 2a로 나눠줘야 한다 a는 1이고 이걸 간단히 할 수 있는지 봅시다 우리가 뭐 하고 있는지 기억하세요 우리는 법선과 포물선이 어디서 교차하는지 구하는 중입니다 우리가 얻은 것입니다 이건 조금 지저분해 보입니다 이걸 정리할 수 있는지 봅시다 인수를 분리해봅시다 전부 1/2로 나누면 이거는 -1을 4x0로 나눈것이고 플러스 마이너스 1/2 곱하기 루트 무엇을 간단히 할 수 있는지 봅시다 x0제곱분의 4를 인수로 하면 어떻게 될까요? 이거는 x0의 4제곱이 될꺼고 더하기 이 항은 어떻게 될까요? 이 항은 x0제곱 곱하기 1/2이 됩니다 이것을 증명하기 위해 4를 곱해보면 2가 되고 x0제곱은 약분됩니다 그 다음 항은 더하기 4x0제곱 분의 1 항을 말하는 건데 1/16이 되고 좀만 오른쪽으로 가봅시다 이것이 옳다는 것을 증명할 수 있습니다 실제로 곱해보면 이런 결과를 얻을 수 있습니다 마지막 코스가 남아있습니다 정리할 부분이 남아있기 때문입니다 어떻게 처리해야 할까요? 포물선과 법선의 교차선은 이것과 같습니다 4x0분의 -1 플러스 마이너스 1/2 곱하기 제곱근인데 제곱근 안의 부분은 x0제곱 분의 4고 남은 부분은 운 좋게도 완전제곱식입니다 자세히는 다루지 않겠지만 알아내기는 쉽습니다 x0제곱 더하기 1/4입니다 직접 제곱해 보면 쉽게 확인할 수 있습니다 완전제곱식이기 때문에 루트를 없앨 수 있습니다 그래서 법선과 포물선의 교차점을 얻었고 이것은 꽤 복잡한 문제입니다 교차하는 점은 4x0분의 -1 플러스 마이너스 1/2 곱하기 루트 이하입니다 루트 이하는 x0분의 2 곱하기 루트 이하 즉 x0제곱 + 1/4 입니다 약분을 조금 하면서 정리해보겠습니다 이건 지워집니다 플러스 마이너스 x0분의 1 곱하기 x0제곱 그래서 x0분의 1입니다 나눗셈에 주의하세요 알아보기 쉽도록 노란색으로 쓰겠습니다 두 항을 곱하면 x0이고 더하기 4x0분의 1 입니다 이게 전부 입니다 법선과 포물선이 교차하는 2개의 점입니다 분명히 합시다 두개의 점이 있고, 이게 우리가 다루는 x0입니다 이 점과 저 점입니다 우리는 양수와 음수가 있기 때문에 이것이 더한 값이고 이것은 뺀 값입니다 사실 더한 값은 x0가 되어야합니다 실제로 합이 x0가 되는지 봅시다 이게 두 점입니다 더하면 첫번째 교차점이 될 것입니다 그래서 x는 4x0분의 -1 더하기 x0 더하기 4x0분의 1입니다 실제로 더해보니 이 두 값이 상쇄되어 x0가 교차점 중 한개입니다 오류가 없는거 같습니다 우리가 문제에서 정의한 것이기 때문입니다 이게 1사분면 교차점입니다 이게 1사분면 교차점입니다 2사분면의 교차점은 여기서 음수를 취했을 때입니다 결국 2사분면 교차점의 x는 4x0분의 -1 빼기 이 부분입니다 저기있는 부분 즉 빼기 x0 빼기 4x0분의 1입니다 우리가 무엇을 얻었는지 보세요 4x0분의 -1 빼기 4x0분의 1입니다 즉 -x0 빼기 2x0분의 1이 됩니다 -1/4 빼기 1/4 가 -1/2이기 때문입니다 결국 2사분면의 교차점을 얻어냈습니다 2사분면의 교차점은 법선과 포물선의 2사분면 교차점은 -x0 빼기 2x0분의 1입니다 이제 꽤 간단해졌습니다 하지만 아직 문제를 다 해결하지 못했습니다 이 문제는 교차점 중 최대를 구하고자 하기 때문입니다 그것을 극한 법선이라고 합니다 극한 법선은 2사분면의 교차점이 최대 점입니다 문제에서는 가장 작은 값이라고 하지만 음의 값으로 작은 것입니다 즉 최대점입니다 최대점을 어떻게 알아낼 수 있을까요? 우리는 2사분면의 교차점의 식을 1사분면의 교차점의 함수로 가지고 있습니다 이것을 다시 써보면 x0의 함수인 2사분면의 교차점은 -x 빼기 2x0분의 1입니다 이 값은 최대 혹은 최소가 될 것입니다 미분값이 0일때 이건 독특한 표기법이고 아마 이 문제에서 가장 어려운 부분일 것입니다 x0에 대해 이 식을 미분해봅시다 2사분면의 교차점을 x0에 대해서 미분해보면 그냥 계속 하면 됩니다 -1 빼기 1/2 곱하기 이것은 x의 -1제곱과 같기 때문에 -1 곱하기 x0의 -2제곱입니다 이것을 다시 써보면 -1/2 곱하기 x0의 -1제곱이기 때문에 지수를 밖으로 빼고 1을 감소시킵니다 이것이 1사분면의 교차점에 대해 미분한 것입니다 이것을 간단히 해봅시다 2사분면의 교차점인 x의 1사분면 교차점에 대한 미분값은 -1 마이너스 1/2 마이너스 1은 양수가 되서 1/2 곱하기 x0제곱입니다 이 값이 0이 될때 최대 혹은 최솟값이 됩니다 이것이 0이 되도록 해를 구해봅시다 양변에 1을 더합니다 2x0제곱분의 1이 1이됩니다 아니면 간단히 2x0제곱이 1이라고 해도 됩니다 역수를 취해서 또한 x0제곱이 1/2이라고 해도됩니다 이때 양변에 루트를 취하면 x0는 루트 2분의 1이됩니다 거의 다 풀었습니다 우리는 방금 극한 법선에 해당하는 x0값을 구했습니다 여기 이 값입니다 더 진한 색으로 써보겠습니다 극한 법선에 해당하는 이 값은 즉 저기 저 점의 x0값은 루트2 분의 1입니다 이제 극한 법선의 방정식을 구해봅시다 극한 법선의 방정식은 여기 이미 구했습니다 이것입니다 극한 법선의 방정식이 바로 저것입니다 이 극점에서의 극한법선을 알기 위해서는 그냥 x0를 루트2분의 1로 바꿔주면 됩니다 대입하면 어떻게 되나요? 이것은 꽤나 귀찮은 문제입니다 y 빼기 x0제곱 x0제곱은 1/2 맞죠? 루트2분의 1을 제곱하면 1/2입니다 이 값은 2x0분의 -1과 같습니다 여기서 조심하세요 -1/2나누기 x0 입니다 1/x0는 루트2 입니다 이 값을 x빼기x0에 곱하면 됩니다 저건 루트2 분의 1 입니다 x0가 루트2 분의 1이기 때문입니다 이것을 조금 더 정리합시다 법선의 방정식은 제가 실수를 하지 않았다면 y 빼기 1/2은 -2분의 루트2에 x를 곱하고 루트2와 루트2분의 1을 곱하면 1이 됩니다 마이너스와 마이너스가 있기 때문에 플러스 1./2이 됩니다 이게 맞는거 같습니다 이거 곱하기 저거 곱하기 저거는 1/2입니다 이제 마지막 단계가 남았습니다 양변에 1/2를 더하면 극한 법선의 방정식을 얻을 수 있습니다 y는 마이너스 2분의 루트2 x에 양변에 1/2를 더했기 때문에 더하기 1이 됩니다 이게 답입니다 제가 실수를 하지 않았다면 이게 저 선의 방정식입니다 비록 복잡한 과정이지만 영상을 다시 보시면서 이해하도록 노력하세요