테일러와 매크로린 다항식이란?(1)

무작위의 함수를 그려봤습니다 그리고 저희가 해볼 것은 이 함수를 어림하는 것입니다 어떤 함수인지 모르죠 다항식을 통해서요 해당 다항식에 항을 더해보겠습니다 이를 위해선 함수의 0일 경우의 값을 구해야 합니다 해당 지점에서 어떤 결과를 나타내고 그리고 해당 함수의 도함수를 구하고 일, 이, 삼계도함수를 구하여 이렇게 계속 구하고 0일 경우의 값을 구합니다 f(0)의 값을 안다고 합시다 그리고 f'(0)의 값을 안다고 합시다 그리고 f''(0)의 값을 안다고 합시다 그리고 f'''(0)의 값을 안다고 합시다 한번 적어봅시다 삼계도함수입니다 f''(0)을 적고 계속 적어봅시다 따라서 계속 증가하는 다항식을 이용해 이를 예측할 수 있습니다 따라서 항이 한 개인 다항식이 있습니다 이는 상수항이겠죠 이는 0차 다항식입니다 그리고 상수항이 있다면 해당 상수항을 다항식으로 만들고 싶습니다 상수 함수죠 f(0)과 같은 함수요 따라서 처음에 p(0)을 구합니다 p는 만들어야 하는 다항식이며 p(0)은 f(0)과 같아야 합니다 항이 한 개인 다항식을 사용해 풀고 싶다면 상수항만 있다면 p(x) = f(0)이라고 할 수 있습니다 이 그래프를 그린다면 다음과 같습니다 이는 f(0)에 위치한 수평선입니다 이 어림값이 별로라고 할 수 있습니다 이는 해당 점에서의 함숫값만 나타냅니다 운이 좋게도 다른 점을 지나지만 다른 점에선 해당되지 않습니다 따라서 수평선을 사용하는 것 보다 나은 결과를 구해보겠습니다 적어도 f(0)에서의 값은 구했습니다 따라서 상수로 구할 수 있는 것을 했습니다 이를 기억합시다 이는 상수처럼 보이지 않지만 하지만 함수가 주어진 경우에 0에서의 값을 구할 수 있고 이는 상수입니다 따라서 어떤 수이든 간에 여기에 적겠습니다 p(x)의 값은 해당 수와 같습니다 이는 f(0)에 위치한 수평선과 같습니다 이는 하지만 충분하지 않습니다 다른 조건을 더해봅시다 p(0) = f(0) 이외에 p'(0) = f'(0)이라고 가정을 해봅시다 새로운 색으로 적어볼게요 새로운 색으로 적으면 새로운 색이 아니네요 p'(0)도 구하고 싶습니다 다항식의 도함수를 구하면 0에서의 값을 구하면 이는 함수의 도함수의 0에서의 값과 같습니다 그리고 이 정보를 잃지 않고 싶습니다 따라서 p(0)과 f(0)이 같다면 어떤가요? 이전 p(x)를 사용하지만 다른 항을 더하면 도함수의 값이 같습니다 더하기 f'(0)x입니다 이에 대해서 생각을 해봅시다 이를 새로운 다항식으로 사용하면 어떤가요? p(0)은 무엇인가요? p(0)의 값은 f(0) 더하기 f'(0)의 값이 얼마든 간에 곱하기 0이니 0입니다 x에 0을 대입하면 이 항은 0입니다 따라서 p(0) = f(0)입니다 좋네요 첫 번째 조건과 같이 좋습니다 따라서 여기 도함수의 값은 무엇인가요? 따라서 도함수 p'(x)의 값은 이 식의 도함수를 구합니다 이는 상수항이며 도함수가 0입니다 계수 곱하기 x의 도함수는 계수입니다 f'(0)과 같습니다 0에서의 값을 구하면 따라서 p'(0)입니다 혹은 다항식의 도함수의 0에서 값을 구한다면 이는 약간 이상한게 p'(x)과 f(0)을 사용하지만 변수가 무엇이고 상수가 무엇인지 생각을 한다면 이해가 됩니다 따라서 이는 f'(0)입니다 도함수는 상수입니다 여기 이 상수입니다 해당 함수의 도함수를 구할 수 있다고 가정하고 해당 값의 0에서의 상숫값을 구할 수 있다고 합니다 따라서 p'(x)는 해당 상수와 같고 그리고 p'(x)의 값은 해당 값과 같습니다 여기서 좋은 점은 여기 0차 항과 1차 항을 가지는 다항식을 보면 x = 0일 경우의 문제의 함숫값과 같습니다 그리고 일계도함수의 값이 동일합니다 x = 0일 경우의 기울기가 같습니다 따라서 이 새로운 다항식은 두 개의 항을 가지고 이와 같습니다 해당 식은 x = 0일 경우인 f(0)에서의 접선과 같습니다 잘 구하고 있지만 아직 완벽하진 않습니다 0에서의 값의 함수와 같은 방향으로 움직입니다 이계도함수가 같다는 것을 사용하면 더 낫습니다 이계도함수가 같고 도함수의 값이 같고 0에서의 값이 같게 해봅시다 흥미롭네요 p(x)를 정의해봅시다 확실하게 해볼게요 이는 첫 번째 풀이였습니다 이는 두 번째 풀이였습니다 이제 세 번째 풀이를 해봅시다 세 번째 풀이는 다항식의 값과 함수의 0에서의 값과 같게 합니다 둘 다 도함수의 0에서 값이 같습니다 그리고 이계도함수의 0에서의 값이 같습니다 따라서 구하는 다항식이 여기 첫 두개의 항을 사용을 하겠습니다 따라서 f(0) + f'(0)x0이며 여기서 한 것이죠 하지만 다른 항도 더해봅시다 새로운 색으로 적어봅시다 여기에 1/2를 적겠습니다 그리고 곧 왜인지 이해를 할 수 있습니다 더하기 1/2f''(0) 곱하기 x^2입니다 그리고 이 식의 도함수를 구하면 1/2이 왜 있는지 알 수 있습니다 왜냐하면 이 도함수의 0일 때의 값을 구할 것입니다 따라서 p(0)을 구하면 이 값은 무엇인가요? 해당 상수항을 가집니다 0에서의 값을 구하면 x와 x^2의 값은 0이 됩니다 따라서 해당 항들은 사라집니다 따라서 p(0)은 f(0)과 같습니다 p'(x)를 구하면 따라서 도함수를 구해봅시다 노란색으로 적어봅시다 따라서 p(x)의 도함수는 이 값은 사라집니다 이는 상수항입니다 이는 f'(0)와 같습니다 이는 계수입니다 더하기 멱의 법칙을 사용하면 2x1/2는 1이며 더하기 f''(0) 곱하기 x입니다 2에 1/2을 곱합니다 그리고 지수를 줄입니다 왜 1/2을 넣는지 알 수 있습니다 이는 계수에 2가 남지 않게 하기 위해서죠 p'(0)은 무엇인가요? 여기에 적어봅시다 p'(0)이 무엇인가요? 여기 이 항은 0입니다 따라서 이 상수만 남게 됩니다 따라서 f'(0)이 됩니다 세 번째 다항식은 두 번째의 모든 성질을 가집니다 따라서 삼계도함수가 어떤지 봅시다 혹은 이계도함수를 한 번 봅시다 p''(x)는 이 상수와 같으며 도함수가 0입니다 두 번째 항의 계수는 f''(0)과 같습니다 p'(0)의 값은 무엇인가요? 이는 상수항입니다 f''(0)과 같습니다 따라서 이 항을 더하면 다항식의 값이 함수가 0일 경우의 값과 같으며 도함수가 0일 경우의 값은 함수의 도함수가 0일 경우가 같습니다 그리고 이계도함수가 0일 경우의 값은 함수의 이계도함수가 0일 경우와 같습니다 따라서 잘 하고 있네요 이제 패턴이 보일 것입니다 더하는 모든 항은 상황을 만들어 주어 n계도함수가 0일 경우의값이 함수의 n계도함수가 0일 경우와 값이 같습니다 따라서 이를 계속 한다면 시간이 많다면 다항식에 항을 계속 더하여 새로운 색으로 적어봅시다 이미 사용한 색으로 적어봅시다 다항식의 예측값을 구해봅시다 이 첫 번째 항은 상수항은 f(0)입니다 그 다음 항은 f'(0)x입니다 다음 항은 f''(0) 곱하기 0 곱하기 1/2x^2입니다 이를 조금 다른 순서로 적었습니다 다음 항인 삼계도함수가 0일 경우의 값이 같게 하려면 f'''(0)입니다 함수의 삼계도함수의 0일 경우의 값 곱하기 1/2 x 1/3 따라서 1/(2x3) 곱하기 x^3 이렇게 계속할 수 있습니다 패턴이 보일 것입니다 0일 경우의 사계도함수를 구하면 함수의 사계도함수와 값이 같습니다 4를 여기에 적으면 f''''(0) 곱하고 순서를 바꿔보겠습니다 오름차순으로 적는 대신 말이죠 이를 4x3x2 곱하기 x^4입니다 이를 확인해봅시다 이 값밖에 없다면 그리고 0일 경우의 사계도함수를 구하면 함수의 사계도함수가 0일 경우의 값입니다 따라서 계속 항을 더하여 n번째 항은 이와 같습니다 함수의 n계도함수가 0일 경우의 값 곱하기 x^n/n!입니다 이는 4!과 같습니다 4!은 4x3x2x1입니다 1은 적을 필요가 없습니다 하지만 적을 수 있죠 이는 3!과 같습니다 3 곱하기 2 곱하기 1이죠 1은 안적습니다 이는 2!과 같습니다 2x1 같은 것이죠 아무것도 적지 않았지만 1!로 나눌 수 있습니다 이는 1과 같죠 그리고 0!로 나눕니다 이는 1입니다 이를 많이 공부하지 않아도 됩니다 여기서 보여준 것은 매클로린 급수입니다 그리고 다항식을 어림할 수 있습니다 이는 나중에 강력한 결과를 도출합니다 제 뇌로는 그래프를 제대로 그릴 순 없지만 함수가 같다면 수평선을 가집니다 함수가 0과 같고 일계도함수가 0일 경우의 값이 같다면 다음과 같은 접선의 형태입니다 다음 차수를 더하면 다음과 같은 다항식을 가집니다 다음 차수를 더하면 이와 같습니다 차수를 계속 더한다면 항을 계속 더하고 두 함수가 비슷해집니다 x가 0과 가까워질수록 비슷해집니다 하지만 무한대의 항을 더한다면 이를 아직 증명하진 않았습니다 따라서 이를 말하는 이유입니다 아직 증명하지 않았습니다 하지만 무한대의 항을 더한다면 모든 도함수의 값이 동일합니다 그리고 두 함수가 비슷해집니다 다음 영상에서 실제 함수를 이용해 이를 더 자세히 알아보겠습니다 따라서 매클로린 급수는 테일러 급수의 특별한 경우이며 이는 0을 중심으로 둡니다 그리고 테일러 급수를 구한다면 어느 중심이든 고를 수 있습니다 지금은 매클로린 급수에 집중하죠