급수의 극한 정의

이 영상에서 하려고 하는 것은 n이 무한으로 접근하는 수열의 극한을 엄격히 정의내리는 것입니다 지금부터 다룰것들은 함수와 유사한데 이러한 수열이 색인(index)에 대한 함수로 이해 될 수 있기 때문입니다 확실히 설명하기 위해 여기 오른쪽에 임의의 수열을 그리겠습니다 확실히 설명하기 위해 여기 오른쪽에 임의의 수열을 그리겠습니다 이렇게 다가가고 있는 수열입니다 값이 오르락 내리락 하는 수열인데요 n=1일때 a(1)여기있고 n=2일때 a(2)은 여기 n=3일때 a(3)은 이곳에 n=4일때 a(4)여기있고 n=5일때 a(5)여기있습니다 n의 값이 1 2 3 4 5 로 이렇게 n이 점점 커지는게 보일겁니다 이에따라 a(n)이 특정 값에 가까워지는것이 보입니다 점점 가까워져서 L이라는 어떤 값에 수렴하는 것처럼 보입니다 여기서 정의를 내려야 하는 부분은 L로 수렴하는것이 진정 무엇을 의미하느냐는 부분입니다 이제 L에 수렴하는 어떤 수에 대하여 0보다 큰 어떤 양의 ε에 대해서 그 어떤 수가 주어진다 하더라도 어떤 양의 ε에 대해서도 양수인 M 대문자 M에 대하여 소문자 n이 대문자 M보다 크다면 a(n)과 극한 L 사이의 거리는 ε보다 작습니다 a(n)과 극한 L 사이의 거리는 ε보다 작습니다 여러분이 ε을 0보다 큰 그 어떤 수로 놓는다고 해도 만약 M보다 n이 크면 a(n)과 극한 사이의 거리는 ε보다 작습니다 그렇다면 이제 a(n)의 극한은 무한히 L로 수렴한다는 것을 알 수 있고 a(n)이 L로 수렴한다고 할 수 있습니다 이를 분석해보면 a(n)이 L에 접근한다고 선언하고 이를 분석해보면 a(n)이 L에 접근한다고 선언하고 이것을 수평선처럼 그리려고 했는데요 이것이 바로 수열의 수렴에 대한 정의입니다. 어떤 ε이 0보다 크다고 해봅시다 이제 L과 ε을 더합니다 여기를 L+ε이라고 해 봅시다 그리고 여기를 L-ε이라고 해봅시다 그리고 두 경계선을 그리겠습니다 여기서 어떤 ε을 골랐는데요 어떤 임의의 양의 ε에 대해서도 어떤 양수 M을 찾을 수 있는데 M이 저기에 있다고 해 봅시다 n이 M보다 크기만 하면 a(n)은 L로부터 ε의 범위안에 있게됩니다 ε 범위 안에 있다는것은 이 범위 안에 있다는 것입니다 이곳의 오른쪽 위의 경우에 L과 a(n)의 거리를 봅시다 즉 이 중 어떤 것이라도 L-ε과 L+ε 사이입니다. 이것과 우리의 극한 사이의 거리는 ε보다 작아질 것입니다 그리고 우리는 바로 여기서 최소한 시각적으로라도 M을 뽑고 어떤 n이 M보다 크다고 한다면 M보다 큰 N을 있고 그 M이 3이라면 a(n)이 꽤나 가까워보입니다 만약 그 M이 4라면 a(n)은 더 가까우며 ε 범위 안에 있습니다 어떤 ε에 대해서도 이것을 참이라고 말할 수 있다면 극한은 존재하고 그것은 L에 수렴한다고 말할 수 있습니다 다음 영상에서는 수열의 수렴의 증명에 본 정의를 사용할 것입니다