cos(x)의 매클로린 급수

지난 시간에 다음 직관을 세웠습니다 강의 말미에 매크로린 급수는 테일러 급수의 특수한 경우라고 했죠 매크로린 급수의 경우 이 함수를 x = 0 주변에서 근사를 하고 테일러 급수는 나중에 강의에서 다룰 것이지만 임의의 x값, 혹은 f(x)를 선택하여 그 주변에서 함수를 근사합니다 하지만 매크로린 급수에 집중합시다 어느 정도 간단한 편이고 수학에 대한 심오한 결론을 내릴 수 있다는 것 자체가 제가 얻으려는 것이기 때문입니다 재미있는 함수들의 매크로린 급수를 구해봅시다 도함수를 구하기 쉽고 계속해서 미분할 수 있는 함수들로 할게요 cosx의 매크로린 급수를 구해봅시다 f(x) = cosx 이 공식을 적용하기 전에 이것은 지난 시간에 파생된 부분이고 적어도 직관을 얻은 부분입니다 f(x)의 도함수들을 구해봅시다 감각을 살리기 위해서 말이죠 첫 번째 도함수를 구하면 cosx의 도함수는 -sinx 입니다 다시 도함수를 구하면 sinx의 도함수는 cosx이고 마이너스 부호가 있으므로 이를 붙여줍니다 다시 도함수를 구하면 cosx의 3차 도함수는 sinx입니다 미분하면 다시 cosx가 됩니다 다시 미분하면 4차 도함수가 됩니다 이렇게 표기해야 하지만 뭔가 떠오를 것입니다 다시 cosx가 나옵니다 지난 시간에 이야기했듯이 다양한 도함수들의 0에서의 값을 구하고자 합니다 0을 대입해 봅시다 f(0) = cos0 = 1 0라디안이나 0도나 상관없습니다 sin0 = 0이므로 f'(0) = 0 다시 cos0 = 1이지만 마이너스가 있으므로 -1입니다 f''(0) = -1 3차 도함수를 구해봅시다 f'''(0) = sin0 = 0 4차 도함수에 0을 대입한 결과는 1입니다 따라서 f''''(0) = 1 흥미로운 패턴을 확인 수 있습니다 1, 0, -1, 0 1, 0, -1, 0 매크로린 식을 구하기 위해 이것을 적용하면 무엇이 나올까요? 최선을 다해 구해보겠습니다 cosx의 근사다항식 p(x)는 f(0) = 1 + f'(0)x 그런데 f'(0) = 0이므로 이 항은 사라집니다 이 식을 적는 번거로움은 감수하지 않을 것입니다 f''(0) = -1이므로 -x² -x² 분모는 2! = 2 입니다 하지만 패턴이 명백히 보이도록 2!로 적겠습니다 다음 항입니다 f'''(0) = 0이므로 이 항도 사라집니다 f''''(0) = 1이므로 이 계수의 값은 1이고 여기에 x⁴/4!을 곱합니다 패턴이 보일 것입니다 부호가 교차하는 것을 전개하면서 알 수 있습니다 저를 믿지 못하겠다면 직접 해볼 수 있습니다 +, -, +, - 이런 식입니다 이것은 1과 x^0의 곱이고 x²으로 건너뛰고 x⁴으로 건너뜁니다 이렇게 계속하면 다음 항은 -x^6/6! 이고 이렇게 계속하면 다음 항은 -x^6/6! 이고 그 다음 항은 x^8/8!이며 다음 항은 -x^10/10! 입니다 이렇게 진행됩니다 이 급수가 계속 진행되면 cosx의 근사다항식이 됩니다 이렇게 표현될 수 있는 것은 멋진 일입니다 삼각함수에 대한 아주 단순한 패턴입니다 다시 한번 말하지만 이 모든 수학이 연관되어 있습니다 이제부터 2, 3개 강의에 걸쳐 보겠지만 여러분이 상상할 수 있는 것보다 훨씬 더 심오한 방식으로 연결되어 있습니다