경사장이란?

미분방정식 dy/dx가 주어졌다고 생각해봅시다 dy/dx는 (－x)/y 와 같습니다 아직 미분방정식의 해를 구하지 못한다고 하더라도, 적어도 감각적으로 해가 어떤 형태를 가질지는 유추할 수 있습니다 그것을 알아보기 위하여 살펴보아야 할 것은 좌표평면을 그려서 알아보는 것입니다 x축과 y축을 그려봅시다 좌표 평면에 기준이 되는 점을 몇 개 그려봅시다 우리가 알아볼 수 있는 점은 미분방정식이 x, y로 표현 되었다는 것과 x에 대하여 한 번 미분한 함수라는 것이므로 좌표평면에 표현 가능한 몇 가지 점으로 (－x)/y의 식에 대입하여 기울기가 어떻게 변할지 알아봅시다 만약에 해가 어떤 점을 지나간다면 어떤 점을 지나가는 기울기를 선분으로 표현함으로써 해를 시각화할 수 있습니다 그 점에서의 선분의 기울기가 주어진 식으로부터 나왔다면 말이죠 이 방법을 사용해보도록 합시다 표를 그려보도록 합시다 몇 개의 샘플 점을 잡아서 좌표평면에 시각화 하기 위해 x, y, dy/dx값에 대하여 찾아봅시다 x＝0, y＝1 인 경우에는 dy/dx값은 얼마가 될까요? (－0)/1 이므로 0이 됩니다 점(0, 1)이 해가 지나가는 점이라면 그 점에서의 순간 기울기는 0이 됩니다 더 쉽게 알아보기 위해 수평선을 진하게 그어봅시다 더 쉽게 알아보기 위해 수평선을 진하게 그어봅시다 x＝1, y＝1인 경우에는 dy/dx값은 (－1)/1이므로 －1이 됩니다 점(1, 1)을 해가 지나게 된다면 그 점에서의 순간 기울기는 -1이 됩니다 기울기가 -1인 선분을 그려봅시다 x＝1, y＝0일 경우에는 어떻게 될까요? dy/dx값은 1/0이 되므로 정의되지 않는 값이지만, 그점에서의 접선의 기울기와 같은 형태를 가질 것입니다 x축과 수직인 형태를 가질 것입니다 확실하지 않으니 물음표 표시를 해두도록 할게요 아마 다음과 같은 형태를 가질 것이라고 생각되지만 함수가 아닐 것이라고 추측되기 때문에 그 점을 지나는 관계가 있다고 하더라도 아직 표시하지 말도록 합시다 다른 점에 대하여 알아봅시다 x＝－1, y＝－1인 경우를 살펴봅시다 dy/dx 값은 1/(－1)이 됩니다 따라서 그 점에서의 기울기는 -1이 됩니다 x＝1, y＝－1 인 경우는 어떻게 될까요? 이 점에서의 기울기는 1이 될 것입니다 해가 그 점을 지나게 된다면 그 점에서의 순간 기울기는 그림과 같이 표현 가능합니다 몇 가지 점을 더 알아보면, 점(2, -2)인 경우에도 그 점에서의 순간기울기는 1이 됩니다 점(2, 2)경우를 알아보면 dy/dx값은 (－2)/2이므로 순간기울기는 －1이 됩니다 몇 가지 점에 대해 좌표평면에 순간기울기를 표현해 봅시다 더 이상 표에 기록하지 않아도 어떤 양상을 가질 지 예측할 수 있습니다 점(－1, 1)에서는 dy/dx값이 1이 되므로 순간 기울기로 1을 가질 것이며 순간 기울기로 1을 가질 것이며 그림처럼 표현 할 수 있을 것입니다 (－2, 2)에서도 같은 방법으로 그려지게 될 것입니다 이러한 선분들을 계속 그려보면 x-y평면에 그려진 샘플 점들로 해가 어떤 형태를 가지는지 유추할 수 있습니다 또한 그 해를 시각화시킬 수 있습니다 아마 이런 형태를 가질 것 같습니다 아마 이런 형태를 가질 것 같습니다 하지만 관계를 살피는 것이 아닌 함수를 보고있으므로, 이 부분은 지워보도록 합니다 이 부분은 지워보도록 합니다 또는 함수가 이 부분에서 시작된다면 다음과 같은 형태로 그려질 것입니다 또한 이 점에서 함수가 시작될 경우는 다음과 같은 형태로 그려질 것입니다 다시 말하지만 이렇게 그릴 수 있는 근거는 기울기 필드가 나타내는 의미입니다 이러한 기울기 필드를 그 점에서의 순간 기울기로 선분을 사용하여 그리고 있습니다 이러한 그림을 기울기 필드라고 합니다 이번 강의로 기울기 필드에 대하여 이해했기를 바랍니다 이어지는 두 개의 강의에서는 이 원리에 대하여 더 깊게 알아봅시다