미분방정식의 특정 해: 유리함수

f(2)= 12라고 합니다 f'(x)= 24/(x^3) 그리고 우리가 알아내야 하는 것은 f(-1) 입니다 f'(x)= 24/(x^3) 그리고 우리가 알아내야 하는 것은 f(-1) 입니다 x의 도함수가 주어졌습니다 역도함수를 이용해 원래 함수를 찾아냅시다 역도함수를 이용해 원래 함수를 찾아냅시다 해봅시다 f(x)는 f'(x)의 역도함수와 같습니다 f(x)는 f'(x)의 역도함수와 같습니다 혹은  f'(x)의 부정적분과 같다고 할 수 있습니다 이는 24/x^3랑 같습니다 24/x^3 으로 적을 수도 있습니다 하지만 조금 더 쉽게 하기 위해 24x^(-3)으로 쓰겠습니다 왜냐하면 역도함수를 구할 것이기 때문입니다 하지만 조금 더 쉽게 하기 위해 24x^(-3)으로 쓰겠습니다 왜냐하면 역도함수를 구할 것이기 때문입니다 하지만 조금 더 쉽게 하기 위해 24x^(-3)으로 쓰겠습니다 왜냐하면 역도함수를 구할 것이기 때문입니다 dx 24x^(-3)의 역도함수가 무엇일까요? 24x^(-3)의 역도함수가 무엇일까요? 멱의 법칙을 역으로 적용할 것입니다 이제부터 지수를 증가시킬 것입니다 이제부터 지수를 증가시킬 것입니다 그냥 다시 써 보겠습니다 24x 의 몇 제곱이냐면 지수를 1만큼 증가시키니까 x^(-3+1)이 됩니다 그리고 커진 지수로 나눌 것입니다 그래서  -3+1이니까 그래서  -3+1이니까 x^(-2)가 됩니다 그리고 이것을 -2로 나눕니다 지금까지 멱의 법칙을 역으로 적용했다고 할 수 있는데 이것에 대해 의구심이 든다면 멱의 법칙을 이용해 도함수를 찾아냅시다 이것에 대해 의구심이 든다면 멱의 법칙을 이용해 도함수를 찾아냅시다 -2 x 24/-2= 24일 것이고 지수를 줄이면 -3이 됩니다 끝난 것인가요? 이게 f(x) 인가요? f(x)에 상수가 포함되어 있을 수도 있습니다 상수를 여기에다가 놓겠습니다 왜냐하면 이것의 도함수를 취하면 왜냐하면 이것의 도함수를 취하면 24x^(-2)/-2의 도함수는 이미 24x^(-3)이라고 구해놨습니다 하지만 상수의 도함수를 취하면 그냥 사라집니다 하지만 상수의 도함수를 취하면 그냥 사라집니다 그래서 도함수에서는 볼 수가 없습니다 상수가 있는지 확인을 해야 됩니다 주어진 정보에 따르면 상수가 있을 것 같습니다 주어진 정보에 따르면 상수가 있을 것 같습니다 f(x)를 다시 써보겠습니다 이미 f(x)가 24x^(-2)/-2라는 것을 알고 있습니다 이미 f(x)가 24x^(-2)/-2라는 것을 알고 있습니다 -12x^(-2)+C입니다 그래서 상수는 어떻게 구할까요? 우리는 f(2)가 무엇인지 알고 있습니다 f(2)=12입니다 한번 다시 써보겠습니다 그래서 f(2)=12입니다 그것은 모든 x에 2를 대입한다는 뜻입니다 그것은 모든 x에 2를 대입한다는 뜻입니다 12=-12(2^(-2))+C 12=-12(2^(-2))+C 12=-12(2^(-2))+C 12=-12(2^(-2))+C 2^ -2= 1/2^2 1/4 이랑 동일합니다 2^ -2= 1/2^2 1/4 이랑 동일합니다 그래서 -12x1/4= -3 그래서 -12x1/4= -3 그래서 -3+C C를 구하기 위해 양변에 3을 더합니다 C는 15라고 구했습니다 그래서 C는 15 입니다 이것도 15 입니다 그러면 이제 f(x)를 쓸 수 있는데 그러면 이제 f(x)를 쓸 수 있는데 f(x)는 원한다면-12/x^2로 쓸 수도 있습니다 -12/x^2 +15를 이용해 f(-1)를 찾아내겠습니다 -12/x^2 +15를 이용해 f(-1)를 찾아내겠습니다 f(-1) 모든 x에 -1를 대입합시다 이거는 (-1)^2입니다 그래서 f(-1)= -12÷((-1)^2) 입니다 그래서 f(-1)= -12÷((-1)^2) 입니다 -1의 제곱은 1입니다 그래서 -12+15가 되니깐 답은 3이고, 끝났습니다 이것은 3과 같습니다 커넥트 번역 봉사단 | 공나영