음함수

우리에게는 x²+y²=1이라는 식이 있습니다 이 관계를 만족시키는 함수를 좌표축 위에 그리면 우리는 위와 같은 원을 얻을 수 있습니다 제가 궁금해 하는 것은 위의 그래프에서 임의의 점의 접선의 기울기를 어떻게 구하느냐 입니다 우리 머리 속에 드는 생각은 저것은 함수가 아니라는 것입니다 위 식은 y에 대한 x의 함수가 아닙니다 각 x마다 우리는 두개의 y 값으 가지고 있으며 두 점은 모두 위의 식을 만족합니다 그러니 우리는 x에 따른 두개의 영역으로 분리해야 할 수도 있습니다 y=√(1-x²)이라는 한 영역과 y=√(1-x²)이라는 한 영역과 y=－√(1-y²)이라는 한 영역으로 나누어집니다 각 식을 따로 미분을 해 봅시다 그러면 여러분은 모든 x에 따른 미분값이나 접선의 기울기를 구할수 있을 겁니다 하지만 제가 하고 싶은 것은 음함수 미분법을 통해서 미분값을 구하는 것입니다 그러니 저는 양함수 미분법으로 y를 x에 대해서 미분을 하지 않을 겁니다 우리가 할 것은 그냥 양 변에 미분연산자를 대입하는 것입니다 그리고 연쇄법칙을 이용할 것입니다 우리가 y를 x에 대해서 미분을 할 수 없고 y가 x'이 아니기 때문에 사람들은 이 연쇄법칙을 음함수 미분법이라고 부릅니다 제가 말하고자 하는 것은 이 미분법은 그냥 연쇄법칙의 일부라는 것입니다 양변에 이제 미분 연산자를 넣어 봅시다 x²＋y²을 x에 대해서 미분을 하는 것을 좌변에 두고 그것은 우변을 미분한 값과 같아집니다 양변에 같은 작업을 하는 겁니다 전체 합의 미분 값은 각 미분값의 총합과 같습니다 각 미분값의 총합과 같습니다 x²을 x에 대해 미분한 것에 y²을 x에 대해 미분한 것을 더하는 겁니다 주황색을 먼저 적겟습니다 이제 보도록 합시다 이것은 x²이고 저것은 y²입니다 그리고 이것은 상수를 미분하는 것과 같은 값을 가집니다 상수는 x에 따라 변하지 않으므로 0입니다 첫번째 것은 매우 많이 해 본 것입니다 x²을 x에 대해 미분을 하면 이것은 그냥 곱의 법칙입니다 미분을 하면 2x가 나옵니다 흥미로운 것은 오른쪽 식입니다 y²을 x에 대해 미분을 해야 합니다 연쇄법칙을 씁시다 미분을 x에 대해서 하지 말고 미분을 x에 대해서 하지 말고 미분을 x에 대해서 하지 말고 다른 것에 대해서 미분을 할 겁니다 y²을 y에 대해서 미분을 할 겁니다 y²을 y에 대해서 미분을 할 겁니다 y²을 y에 대해서 미분을 하고 다시 y를 x에 대해서 미분을 합니다 우리는 y가 x에 따라 변하며 상수가 아니라는 것임을 알고 있습니다 우리는 이 전체 식을 y에 대해서 미분을 할 겁니다 다시 한번 강조하자면 이것은 그냥 연쇄법칙입니다 그 후에 우리는 y를 x에 대해 미분을 할 겁니다 x에 대해서 미분을 하는 y를 x에 대한 함수라고 생각하는 것이 명확할 겁니다 아니면 x에 대한 함수 y의 제곱이라고 생각하는 것이 연쇄법칙을 사용할 때 더욱 더 명확하겠습니다 미분을 하려는 함수는 x²에 대한 함수이고 y²을 y에 대해 미분을 하고 y²을 y에 대해 미분을 하고 y를 x에 대해 미분을 한 것을 곱한다 이것이 연쇄 법칙입니다 이것을 강조하고 싶습니다 이것이 연쇄법칙입니다 그러니 연쇄법칙을 사용합시다 우변은 어떤 값을 나타냅니까? 다시 한번 써 보겠습니다 y²을 y에 대해 미분을 한 것은 2y이고 이것은 그냥 미분을 한 것입니다 y를 x에 대해 미분을 한 것은요? 우리는 이것을 잘 모릅니다 그러니 우리는 그냥 그것을 dy/dx로 놔둘 것입니다 다시 한번 써보도록 하겠습니다 우리가 얻은 식은 2x에 y²을 y에 대해 미분한 2y 2y 곱하기 dy/dx를 더한 것입니다 그리고 이 식은 0이 됩니다 흥미롭습니다 우리는 식에 dy/dx를 가지고 있고 우리는 식에 dy/dx를 가지고 있고 이것이 우리가 얻고자 하는 것입니다 이것이 임의의 점에서의 접선의 기울기입니다 그러니 우리가 할 것은 dy/dx를 구하는 것입니다 방정식을 풀어보도록 하겠습니다 방정식을 풀어보도록 하겠습니다 이 식을 복사해서 옆으로 붙여넣겠습니다 옆으로 붙여넣겠습니다 옆으로 붙여넣겠습니다 여기서 계속 하겠습니다 양변에서 2x를 빼면 2y×(dy/dx)는 -2x와 같음을 구했습니다 dy/dx를 구하고 싶다면 우리는 그냥 양변을 2y로 나누면 됩니다 그러면 dy/dx는 그러면 dy/dx는 그러면 dy/dx는 그러면 dy/dx는 2가 약분되므로 －x/y임을 구했습니다 흥미롭습니다 우리는 y에 x에 대한 함수식을 대입하지 않았습니다 하지만 우리는 x로만 이루어진 것이 아니라 y와 x로 이루어진 미분식을 구했습니다 이것은 무엇을 의미하는 걸까요? 우리가 구하고자 하는 것은 이 점에서의 미분계수 값입니다 이 점에서의 미분계수 값입니다 단위원이라고 가정하고 각도가 45도이면 (√2/2.√2/2)입니다 (√2/2.√2/2)입니다 이 점에서의 접선의 기울기는 무엇일까요? 구해봅시다 -x/y가 됩니다 접선의 기울기는 -x인 √2/2를 √2/2인 y로 나눈 값입니다 값은 -1입니다 잘 구한 것 같습니다