역사인의 도함수

이번 영상에서 할 것은 y가 sin의 역함수일 때 그 도함수를 구하는 것입니다 이 영상을 잠깐 멈추고 혼자 해보는 것을 추천합니다 두 개의 힌트를 드리겠습니다 우리는 sin 의 역함수의 도함수는 모르지만 sin 함수의 도함수는 구할 수 있습니다 여러분이 이 함수를 조금 정리해서 음함수의 도함수를 구하면 dy/dx를 구할 수 있을 것입니다 여기에 있는 것을 구하는 것이 저희의 목표입니다 이 함수의 도함수를 구해야 합니다 여러분들이 시도했다고 가정하고 같이 풀어봅시다 y가 sin x의 역함수라는 것은 sin y＝x 라고 하는 것과 같은 의미입니다 sin y＝x 라고 하는 것과 같은 의미입니다 sin y＝x 이제 좀 익숙해졌습니다 이제는 음함수 미분이 가능해 보입니다 양변을 x에 대해서 미분해야 합니다 좌변을 x에 대해 미분한 것과 우변을 x에 대해 미분해야 합니다 좌변을 x에 대해서 미분하면 어떻게 될까요? 합성함수의 미분을 사용해야 합니다 sin y의 y에 대한 도함수가 될 것 입니다 즉 cos y 곱하기 y의 x에 대한 도함수입니다 dy/dx 를 곱해줘야 합니다 우변에 있는 x를 x에 대해서 미분하면 1이 됩니다 이것을 dy/dx 에 대해서 풀어야 하므로 양변을 cos y 로 나눕니다 y를 x에 대해 미분 한 것은 1/cos y 가 됨을 알 수 있습니다 근데 우변이 y로 나타나 있으므로 아직 불만족스럽습니다 x로 나타낼 수 있어야 합니다 어떻게 할까요? x＝sin y 라는 것은 알고 있습니다 다시 적겠습니다 x＝sin y 입니다 이 밑에 있는 것을 다르게 표현해야 하므로 삼각함수의 성질을 사용해서 sin y로 나타내면 됩니다 x＝sin y 이므로 만족스러울 것입니다 어떻게 할까요? 우리가 알고 있는 삼각함수의 성질에 따르면 sin²y＋cos²y＝1 입니다 cos y에 대해 나타내려면 양변에서 sin²y 를 빼주면 됩니다 cos²y＝1－sin²y 입니다 cos y 를 구하려면 양변에 루트를 씌우면 됩니다 즉 √(1－sin²y) 입니다 이것을 다시 쓰기 위해서 1/cos y 대신에 1/√(1－sin²y) 라고 쓸 수 있습니다 이것을 왜 해야 할까요? sin y 는 그냥 x 입니다 헷갈리지 않도록 다시 쓰겠습니다 (sin y)² 으로 적었습니다 이 괄호 안에 있는 것이 x 입니다 그래서 이 식은 sin y＝ x 이므로 1/√(1－x²) 이 됩니다 sin y＝ x 이므로 1/√(1－x²) 이 됩니다 sin y＝ x 이므로 1/√(1－x²) 이 됩니다 완성되었습니다 sin 역함수 x 의 x에 대한 도함수는 1/√(1－x²) 가 됩니다 양변을 x에 대해서 미분하게 되면 dy/dx 와 이 우변에 있는 것이 같다고 나올 것입니다 또는 sin 역함수 x 의 도함수가 1/√(1－x²) 가 된다고 할 수도 있습니다 이것을 언제나 유도할 수 있어야 하고 그래야 완전히 자기것으로 만들 수 있습니다 그런데 그냥 이것을 알고 있는 것도 좋습니다 미적분학을 점점 공부하면서 이것을 보고 sin 역함수 x의 도함수라는 것을 바로 알 수 있으면 매우 유용할 것입니다