식을 통한 역함수의 도함수 구하기

f(x)=1/2 x³+3x-4일 때 h를 f의 역함수라고 합시다 f(-2)=-14일 때 h'(-14)의 값을 구하는 문제입니다 만일 함수와 그 도함수 역함수와 역함수의 도함수와의 관계를 알지 못하면 어려울 수도 있습니다 이유는 함수 f의 역함수인 함수 h가 무엇인지 구해야하는데 그 과정은 매우 복잡합니다 이와 같이 정의된 3차 다항식의 역함수를 구해야하기 때문입니다 문제를 해결하기 위해 중요한 점은 f와 h가 역함수 관계라면 h'(x)는 h'(x)는 1/f'(h(x))와 같습니다 h'(x)=1/f'(h(x)) 이 식을 이용하여 h'(-14)의 값을 구할 수 있습니다 무슨 생각을 하고 있을지 저는 알고 있습니다 도대체 이 식이 어디에서 어떻게 나온 식인가 생각하고 있을 것 같습니다 이 식은 연쇄법칙에서 나온 식입니다 함수와 그 역함수의 관계에서 f와 f의 역함수인 h에 대해 f(h(x))는 f(h(x))=x임을 알고 있습니다 문자 그대로 f와 h는 서로의 역함수라는 성질에서 나오는 식입니다 그렇기 때문에 h(f(x))도 마찬가지로 h(f(x))=x입니다 f가 정의역 X에서 맵핑되면 h는 h(X)에서 X로 맵핑됩니다 그리고 나서 f가 다시 맵핑되면 원래 X가 됩니다 그것이 역함수이고 역함수이기 때문에 일어나는 일들입니다 정의에 의해서 서로 역함수 관계가 됩니다 이 식의 양변에서 각각 도함수를 구하면 무엇을 얻을 수 있을까요? 해봅시다 식의 양변에서 x에 대한 도함수를 구해봅시다 좌변을 x에 대하여 미분하고 우변을 x에 대하여 미분합니다 이것이 어떻게 될지 알고 있을 듯 합니다 좌변에 연쇄법칙을 사용합니다 f'(h(x)) f'(h(x)) 곱하기 h'(x) f'(h(x))·h'(x)는 연쇄법칙에서 나오는 식입니다 이 식은 x의 도함수와 같습니다 즉 f'(h(x))·h'(x)=1입니다 이제 양변을 f'(h(x))로 나누면 위의 성질을 얻게 됩니다 이렇게 얻은 식을 이제 실제로 적용해봅시다 h'(14)를 계산하고자 합니다 14가 아니라 -14이네요 h'(-14)는 1/f'(h(-14))과 같습니다 h'(-14)=1/f'(h(-14)) 우리는 h(-14)의 값을 알고 있습니다 정확하게 우리에게 그 값을 주지는 않았지만 f와 h는 서로 역함수 관계에 있기 때문에 값을 구할 수 있습니다 f(-2)=-14이기 때문에 h는 반대 방향으로 가게 됩니다 h에 -14를 대입하면 -2를 얻게 됩니다 즉 h(-14)는 -2와 같습니다 h(-14)=-2 그들은 역함수 관계에 있기 때문입니다 그래서 h(-14)는 -2입니다 다시 한번 정리하면 이 두가지를 서로 바꾼 것입니다 그것이 역함수의 기능인 것입니다 f가 -2에서 -14로 맵핑된다면 h는 거꾸로 -14에서 -2로 맵핑됩니다 이제 f'(-2)를 계산하는 일만 남았습니다 이제 f'(x)를 구해봅시다 f'(x)는 다항식의 미분법에 의해 3/2 곱하기 3에서 1을 뺀 수인 제곱이 됩니다 x에 대한 3x의 도함수인 3을 더합니다 이것도 다항식의 미분법에 의한 것인데 x는 1제곱이므로 1과 3을 곱하고 x의 0제곱이 되는데 x의 0제곱은 1입니다 그래서 3인 것입니다 이러한 방법으로 -4를 미분하면 0이 됩니다 따라서 f'(x)=3/2 x² +3입니다 f'(-2)는 3/2과 (-2)²=4를 곱하고 3을 더하면 됩니다 이 식은 3과 2를 곱한 값인 6과 같게 되고 6+3=9입니다 여기 분모가 9이므로 구하고자 하는 답은 1/9입니다 이와 관련한 것은 매일 볼 수 있는 것은 아닙니다 미적분 수업에서도 전형적인 문제는 아니지만 흥미로운 문제였습니다