함수 미분하기: 오류 찾기

이번 동영상에서는 다른 사람들이 도함수를 구하는 것을 보고 다른 사람들이 도함수를 구하는 것을 보고 추론하는 과정이 맞는지 아닌지 추론하는 과정이 맞는지 아닌지 어떻게 했어야 하는지 어디서 틀렸는지 알아보겠습니다 네이트가 (x² + 5x) ᐧ sin(x)의 도함수를 찾으려고 했다 합니다 네이트가 (x² + 5x) ᐧ sin(x)의 도함수를 찾으려고 했다 합니다 네이트가 (x² + 5x) ᐧ sin(x)의 도함수를 찾으려고 했다 합니다 다음은 네이트의 과정입니다 네이트의 방법이 맞나요? 아니라면 어디서 실수를 했나요? 동영상을 멈추고 답해 보세요 네이트가 맞았나요? 아니라면 어디서 실수를 했나요? 이미 스스로 해 보았다고 가정하겠습니다 단계별로 해 봅시다 여기서는 미분 기호를 방정식에 적용하려 했네요 여기서는 미분 기호를 방정식에 적용하려 했네요 정확히 잘 했습니다 이것의 도함수를 구하려 했으니까요 그리고 이건 두 방정식의 곱이니까 그리고 이건 두 방정식의 곱이니까 그리고 이건 두 방정식의 곱이니까 그건 도함수의 곱과 같은 것이라고 했네요 이게 문제입니다 아마 익숙하겠지만 두 개의 합의 도함수 그러니까 x에 대한 f(x) + g(x)의 도함수는 그러니까 x에 대한 f(x) + g(x)의 도함수는 f'(x) + g'(x)가 맞습니다 f'(x) + g'(x)가 맞습니다 하지만 함수의 곱이라면 사실이 아닙니다 하지만 함수의 곱이라면 사실이 아닙니다 x에 대한 f(x)g(x)의 도함수는 x에 대한 f(x)g(x)의 도함수는 아주 특별한 상황이 아니면 일반적으로 도함수의 곱이 아닙니다 일반적으로 도함수의 곱이 아닙니다 f'(x)g'(x)가 아니라는 뜻입니다 여기서는 곱셈 공식을 이용해야 합니다 이것은 무엇과 같냐면 첫 함수의 도함수와 둘째 함수의 곱과 첫 함수의 도함수와 둘째 함수의 곱과 첫 함수의 도함수와 둘째 함수의 곱과 미분하지 않은 첫 함수와 둘째 함수의 도함수의 곱을 더한 것입니다 그러니 여기에 곱의 공식을 적용했어야 합니다 정답이 무엇이었어야 하는지 풀어 봅시다 정답이 무엇이었어야 하는지 풀어 봅시다 여기서 했어야 하는 것은 빨간색으로 표시해 보겠습니다 이렇게 하면 안되고 첫 함수의 도함수를 구했어야 합니다 색으로 표시해 보겠습니다 이것의 도함수는 2x + 5입니다 따라서 (2x + 5)에 둘째 것인 sin(x)를 곱합니다 따라서 (2x + 5)에 둘째 것인 sin(x)를 곱합니다 따라서 (2x + 5)에 둘째 것인 sin(x)를 곱합니다 따라서 (2x + 5)에 둘째 것인 sin(x)를 곱합니다 따라서 (2x + 5)에 둘째 것인 sin(x)를 곱합니다 여기에 첫째 함수 (x² + 5x)와 여기에 첫째 함수 (x² + 5x)와 둘째 함수의 도함수를 곱한 것을 더해야 합니다 sin(x)의 도함수는 cos(x)입니다 이게 이 단계에 있었어야 합니다 이게 이 단계에 있었어야 합니다 단지 도함수들의 곱을 구하는 것이 아니라 곱의 공식을 적용했어야 합니다 곱의 공식을 적용했어야 합니다 따라서 네이트는 틀렸고 네이트의 실수는 곱의 공식을 적용하지 않은 것입니다 도함수의 곱이 곱의 도함수와 같다고 생각했죠 예제를 더 해봅시다 그럼 봅시다 케이티는 (2x² - 4)³의 도함수를 찾으려고 했습니다 케이티는 (2x² - 4)³의 도함수를 찾으려고 했습니다 케이티는 (2x² - 4)³의 도함수를 찾으려고 했습니다 다음은 그 과정입니다 케이티는 맞았나요? 아니라면 실수는 무엇인가요? 다시 한 번 동영상을 멈추고 스스로 답해 보세요 좋습니다 케이티의 과정을 검토해 봅시다 이것의 도함수를 구하는 데 여길 보면 케이티는 내부 함수에 대해 전체 방정식의 도함수를 구하고 있습니다 내부 함수에 대해 전체 방정식의 도함수를 구하고 있습니다 이것은 연쇄법칙을 적용하는 것과 가깝지만 하지만 제대로 적용하지 않았습니다 따라서 과정은 맞지 않고 케이티의 실수는 연쇄법칙을 제대로 적용하지 않은 것입니다 케이티의 실수는 연쇄법칙을 제대로 적용하지 않은 것입니다 연쇄법칙에 따르면 x에 대한 f(g(x))의 도함수는 연쇄법칙에 따르면 x에 대한 f(g(x))의 도함수는 연쇄법칙에 따르면 x에 대한 f(g(x))의 도함수는 연쇄법칙에 따르면 x에 대한 f(g(x))의 도함수는 연쇄법칙에 따르면 x에 대한 f(g(x))의 도함수는 이는 g(x)에 대한 전체의 도함수와 이는 g(x)에 대한 전체의 도함수 f'(g(x))와 이는 g(x)에 대한 전체의 도함수와 내부 함수의 x에 대한 도함수 g'(x)를 곱한 것과 같습니다 내부 함수의 x에 대한 도함수 g'(x)를 곱한 것과 같습니다 내부 함수의 x에 대한 도함수 g'(x)를 곱한 것과 같습니다 따라서 여기서 f는 대입값을 세제곱하는 함수라 할 수 있고 f는 대입값을 세제곱하는 함수라 할 수 있고 이것은 f'(g(x))입니다 이것은 f'(g(x))입니다 하지만 케이티는 내부함수의 x에 대한 도함수를 구하는 것을 잊어버렸습니다 2x² - 4의 x에 대한 도함수를 곱하는 것을 잊은 것이죠 2x² - 4의 x에 대한 도함수를 곱하는 것을 잊은 것이죠 이것은 무엇이냐면 2x²의 도함수는 멱의 법칙을 사용하면 2 x 2는 4이므로 4x입니다 -4의 도함수는 0이고요 따라서 4x만 곱해주면 됩니다 이게 올바른 방법입니다 이게 올바른 방법입니다 여기에 4x를 곱했어야 하죠 여기에 4x를 곱했어야 하죠 따라서 맞지 않고 연쇄법칙을 제대로 적용하지 않았습니다 또 풀어봅시다 여기 느조만이 sin(7x² + 4x)의 도함수를 구하려 하고 있습니다 느조만이 sin(7x² + 4x)의 도함수를 구하려 하고 있습니다 다음은 그 과정입니다 느조만은 맞았나요? 아니라면 실수는 무엇인가요? 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 좋습니다 이 방정식의 sin의 도함수입니다 연쇄법칙을 사용해야 합니다 연쇄법칙을 사용하면 내부에 대한 외부 함수의 도함수를 구해야 합니다 따라서 어떤 것에 대한 어떤 것의 sin의 도함수는 따라서 어떤 것에 대한 어떤 것의 sin의 도함수는 따라서 어떤 것에 대한 어떤 것의 sin의 도함수는 어떤 것의 cos입니다 이건 맞고 이것도 맞습니다 그리고 그것을 x에 대한 내부 함수의 도함수로 곱해야 합니다 그리고 그것을 x에 대한 내부 함수의 도함수로 곱해야 합니다 7x²의 도함수는 14x이고 4x의 도함수는 4입니다 이 단계는 괜찮네요 하지만 느조만은 여기서 풀이를 잘못했습니다 이건 cos(7x² + 4x)입니다 이 모든 것을 (14x + 4)로 곱하는 것이죠 하지만 괄호를 보니 헷갈리는 일이 가끔 있습니다 하지만 괄호를 보니 헷갈리는 일이 가끔 있습니다 이건 사실 College Board의 AP 관련자들이 말씀해주신 아주 흔한 오류입니다 AP 관련자들이 말씀해주신 아주 흔한 오류입니다 cos, sin, tan 같은 초월함수를 다룰 때는 cos, sin, tan 같은 초월함수를 다룰 때는 이렇게 있으면 자연스럽게 괄호를 보고 또 괄호를 보고 두 방정식을 곱하려고 할 수 있는데 두 방정식을 곱하려고 할 수 있는데 이건 옳지 않습니다 괄호를 추가하면 이런 의미이기 때문입니다 괄호를 추가하면 이런 의미이기 때문입니다 따라서 그냥 (14x + 4)를 곱하고 따라서 그냥 (14x + 4)를 곱하고 이 모든 것의 cos값을 구한다고 할 수 없습니다 이것이 나조만의 실수입니다 과정은 옳지 않습니다 실수는 두 방정식을 곱해 그것의 cos값을 구하려고 한 것입니다 그것의 cos값을 구하려고 한 것입니다 하나만 더 해보죠 좋네요 이건 좀 복잡합니다 톰은 √(x)/x⁴의 도함수를 찾으려 하고 있습니다 톰은 √(x)/x⁴의 도함수를 찾으려 하고 있습니다 다음은 그 과정입니다 톰은 맞았나요? 아니라면 실수는 무엇인가요? 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 몫의 법칙을 적용하려고 한 것 같네요 몫의 법칙을 적용하면 분자에는 첫 방정식의 도함수에 둘째 방정식의 곱하고 거기에다 첫 방정식에 둘째 방정식의 도함수를 곱한 값을 빼 주어야 하고 이 모든 것을 그게 아니라 분자 방정식의 도함수에 분모 방정식을 곱한 것에 분자 방정식에 분모 방정식의 도함수를 곱한 것을 빼주어야 한다고 했어야 합니다 이 모든 것을 분모 방정식의 제곱으로 나누어야 합니다 올바르게 잘 푼것 같네요 몫의 법칙을 잘 적용했습니다 톰은 간단히 하는 것도 잘 한 것 같습니다 x^0.5의 도함수는 0.5x^-0.5이니 이것도 맞아 보입니다 x⁴의 도함수는 4x³이니 이것도 맞아 보입니다 x⁴의 도함수는 4x³이니 이것도 맞아 보입니다 모두 대수학적으로 맞는 것 같습니다 봅시다 이것을 간단히 하면 x^-0.5에 x⁴을 곱하면 x^-0.5에 x⁴을 곱하면 x^-0.5에 x⁴을 곱하면 아 이게 이것으로 줄어듭니다 맞는 것 같네요 이게 이것으로 줄어드니까 맞는 것 같습니다 지수 법칙을 확인했습니다 그리고 나누는 데 이 모두 x^3.5의 항이네요 그래서 -3.5x^3.5에 지수의 성질을 사용하면 이건 모두 다 잘 한 것 같습니다 이건 정답입니다 톰은 맞았습니다 아무 실수도 하지 않았습니다 하지만 마음에 안 드는 것이 있습니다 하지만 마음에 안 드는 것이 있습니다 바로 여기 몫의 법칙을 적용할 필요가 없었습니다 여기서 복잡한 계산을 많이 했는데 여기서 복잡한 계산을 많이 했는데 아주 간단히 정리할 수 있었습니다 여기서 복잡한 계산을 많이 했는데 이걸 깨달아야 합니다 톰은 이것을 다시 쓰면 톰은 이것을 다시 써서 x에 대한 도함수를 구할 때 x의 제곱근인 x^(1/2)에 x의 제곱근인 x^(1/2)에 1/x^4인 x^-4 곱한 것과 같다고 했을 수도 있습니다 1/x^4인 x^-4 곱한 것과 같다고 했을 수도 있습니다 색으로 표시해보죠 이건 이것과 같고 이건 이것과 같습니다 여기서 곱의 공식을 사용할 필요도 없이 더 간단히 할 수 있습니다 이것은 무엇과 같냐면 밑이 같으니 서로 더하면 d/dx [x^-3.5]와 같습니다 밑이 같으니 서로 더하면 d/dx [x^-3.5]와 같습니다 밑이 같으니 서로 더하면 d/dx [x^-3.5]와 같습니다 밑이 같으니 서로 더하면 d/dx [x^-3.5]와 같습니다 멱의 법칙을 쓸 수 있습니다 그러면 이것은 -3.5를 앞으로 꺼내고 이것에서 1을 빼서 x^-4.5이 됩니다 이것에서 1을 빼서 x^-4.5이 됩니다 이것에서 1을 빼서 x^-4.5이 됩니다 이것에서 1을 빼서 x^-4.5이 됩니다 보시다시피 이 정답을 훨씬 훨씬 빠르게 구할 수 있었습니다 하지만 톰은 실수는 하지 않았습니다 바로 몫의 법칙을 사용하는 판단 오류는 있었습니다 바로 몫의 법칙을 사용하는 판단 오류는 있었습니다 그러면 많이 복잡해 질 수 있습니다