sin(x)와 cos(x)의 도함수

이번 영상에서는 x에 대한 sin(x)의 도함수와 x에 대한 cos(x)의 도함수에 대하여 직관적인 이해를 길러볼 것입니다 y는 cos(x)는 파란색 그래프이고 y는 sin(x)는 빨간색 그래프입니다 도함수가 무엇인지 증명하지는 않을 거지만 도함수가 무엇인지 구하고 직관적인 이해를 기를 것입니다 추후 다른 영상에서는 증명 또한 해 볼 것입니다 sin(x)부터 시작해 봅시다 도함수는 접선의 기울기와 같다고 볼 수 있습니다 예를 들어 이 점에서 접선의 기울기는 0인 것으로 보입니다 따라서 도함수는 해당 x값에서 0이 되야 합니다 같은 맥락에서 이 점에서도 도함수는 0입니다 접선의 기울기 또한 0입니다 해당 x값에서 도함수가 무엇이든 간에 그 값은 0이 되야 합니다 여기 sin(x)를 살펴보면 접선의 기울기가 1에 가까운 것으로 보입니다 만약 그렇다면 이 도함수에서 x가 0일때 도함수는 1이 되야 합니다 마찬가지로 여기에서 접선의 기울기는 -1인 것으로 보이는데 이것은 도함수가 해당 x값에서 -1이 되야 한다는 의미입니다 이제 여기서 흥미로운 점을 볼 수 있습니다 그래프 어디에서건 접선의 기울기를 그려보면 y는 cos(x)의 그래프와 일치합니다 즉 sin(x)의 도함수가 cos(x)의 도함수와 일치합니다 그리고 이것은 해당 점들 뿐만 아니라 그래프의 전체적인 추세와도 맞아떨어집니다 여기 sin(x)를 살펴보면 기울기는 1인데 그러다가 기울기가 점점 작아지면서 결국에는 0이 됩니다 cos(x)의 함수값은 1에서 시작해 점점 더 작아지다가 결국에는 0이 됩니다 그리고 이러한 방식의 분석을 계속하며 확인해 볼 수 있습니다 다른 영상에서는 이것을 좀 더 엄격하게 증명해 볼 것입니다 이제 cos(x)로 넘어가 봅시다 cos(x)의 이 지점에서는 접선의 기울기가 0인 것으로 보입니다 따라서 그에 상응하는 도함수 역시 해당 점에서 0이 되야 합니다 그러면 sin(x)와 일치할지도 모릅니다 계속 해 봅시다 cos(x)의 이 지점에서 접선의 기울기는 -1인데 따라서 도함수가 이 점을 지나야 합니다 이 과정을 계속할수록 cos(x)의 도함수가 sin(x)와 일치하지는 않는 것 같습니다 사실 sin(x)와 정반대의 값을 가지는 것 같습니다 이 점에서 sin(x)는 -1이 아닌 1의 값을 가집니다 흥미로운 생각입니다 cos(x)의 도함수가 -sin(x)일지도 모릅니다 그래프로 그려봅시다 정말 일치하는 것으로 보입니다 이 점에서 cos(x)의 도함수 즉 접선의 기울기는 -1이고 그 점에서의 -sin(x)는 -1이네요 여기서 cos(x)의 도함수는 0인 것으로 보이는데 -sin(x) 역시 0이네요 따라서 우리의 생각이 맞았던 것으로 보입니다 cos(x)의 도함수는 정말로 -sin(x)입니다 알고 있으면 좋은 사실입니다 알고 있어야 할 기본적인 삼각함수 도함수들이니까요 이로부터 다른 것들도 유도할 수 있을 겁니다 이 영상이 왜 이런 현상이 일어나는지에 대해 직관적인 이해를 주었기를 바랍니다 추후 다른 영상에 이를 더 엄격하게 증명해 보겠습니다