기본 도함수 공식: 오류 찾기

다음은 두 사람이 어떤 식의 도함수를 구한 과정입니다 왼쪽에는 Avery가 기본적인 미분 규칙을 적용하여 7-5x의 도함수를 구하려 했습니다 아래 내용은 Avery의 풀이입니다 오른쪽에서는 Hannah가 기본적인 미분 규칙을 적용하여 -3+8x의 도함수를 구하려 했습니다 아래 내용은 Hannah의 풀이입니다 이 두 예시는 칸아카데미의 미분 연습문제입니다 이 사람들이 옳았는지 틀렸는지 보기 위해 두 경우를 동시에 보도록 하죠 이 둘은 비슷한 식입니다 두 식 모두 상수항과 일차항이 있습니다 그들이 도함수를 구한 과정을 보죠 Avery는 첫 번째 단계에서 7의 도함수를 얻은 다음 5x의 도함수를 따로 얻었습니다 벌써 싸한 느낌이 드네요 (-) 부호는 어디로 갔나요? 7의 도함수를 구한 건 옳지만 5x의 도함수를 뺐어야 했을 텐데요 두 식의 차의 도함수는 두 식의 도함수의 차와 같습니다 이미 그 성질을 증명해 봤습니다 혹은 이 식을 혹은 이 식을 7의 도함수와 -5x의 x에 관한 도함수를 더한 것으로 볼 수도 있었죠 두 방법은 모두 이 식과 동치입니다 하지만 Avery는 (-)를 고려하는 걸 잊어버렸나 봅니다 결국 첫 번째 과정에서 문제가 있었군요 이제 한 단계씩 나아가며 또다른 실수가 있는지 지켜봅시다 어떤 상수의 도함수를 구하는데 이 때 상수는 x에 따라 변하지 않으므로 도함수가 0인 것을 알 수 있습니다 5x의 도함수도 알아야 합니다 또한 아까 살펴봤듯이 -5x를 쓰거나 5x의 도함수의 음의 값을 써야 합니다 어떻게 진행되는지 보죠 0은 사라지고 이 상숫값을 앞으로 꺼냅니다 이는 올바른 방법입니다 상수와 어떤 식을 곱한 것의 도함수는 상수와 그 식의 도함수를 곱한 것과 같습니다 다음은 x의 x에 관한 도함수를 구하고 1을 얻었네요, 맞았습니다 y=x의 그래프를 그리면 기울기가 1입니다 x가 x에 대해 변할 때 변화율은 무엇일까요? 이것도 1입니다 결국 기울기도 1이므로 이 값은 5 × 1 입니다 결국 5군요 문제에서는 Avery가 실수한 부분을 찾으라는데 확실하게 1단계에서 실수를 했습니다 음수여야 했던 이 부분 말이죠 이게 음수이므로 여기 부분도 여기 부분도 이 부분도 음수여야 합니다 결국 최종 답은 -5가 됐었어야 합니다 이제 Hannah의 풀이로 넘어가죠 실수했는지, 했으면 어느 단계인지 보죠 비슷한 식을 미분하네요 우선 상수의 도함수를 구하고 일차항의 도함수를 구합니다 상수의 도함수는 0으로 괜찮습니다 이 부분은 0이 되고 일차항의 도함수를 구해봅시다 이게 그녀가 알고 싶은 겁니다 한 번 봐보죠 풀이를 보면 이 과정에 문제가 있어 보입니다 곱의 도함수와 도함수의 곱이 같다고 가정하는 것 같군요 사실은 그렇지 않습니다 특히 상수가 있으면 훨씬 더 간단한 방법이 있죠 바로 Avery가 생각한 방법입니다 1단계에서 실수를 하긴 했지만요 그러나 이 식과 같이 상수에 식을 곱한 꼴의 도함수는 상수에 식의 도함수를 곱한 것과 일치합니다 이 방법이 옳겠죠 x를 x에 관해 미분한 것은 그냥 1이 되겠고요 결국 8로 간단하게 됩니다 그녀가 채택한 방법은 8의 도함수와 x의 도함수를 곱한 것입니다 사실 그렇지 않죠 더 나아가면 곱의 미분법을 배울 겁니다 그러나 이 경우엔 적용할 필요가 없어요 왜냐면 곱의 형태에서 한 인수는 그저 상수이기 때문이죠 결론은 이게 틀린 방법이란 것입니다 이 과정이 Hannah가 오류를 범한 부분입니다 이와 같이 8이란 결론을 얻는 대신 최종적인 답을 얻을 때 8의 도함수는 0이며 x의 도함수는 1이니 0 × 1로 가정했으므로 결국 오답인 0을 얻었습니다 Hannah는 세 번째 단계에서 실수를 했습니다 Avery는 첫 번째 단계에서 실수를 했고요