상대적 변화율이란?

여기 물 웅덩이가 있다고 생각해봅시다 이제 물 웅덩이 가운데에 돌을 떨어뜨려 보겠습니다 잠시 후 돌을 떨어뜨린 지점에서 바깥쪽으로 향하는 잔물결이 형성됩니다 이것을 어떻게 그릴까요? 잔물결은 바깥쪽으로 이동하고 있습니다 이것이 바로 돌을 물에 떨어뜨림으로써 형성된 잔물결입니다 이는 중심이 돌이 초기에 떨어진 지점인 원이 됩니다 이 순간에 원의 반지름이 3cm 라고 해봅시다 그리고 이 반지름은 1초당 1cm씩 증가합니다 즉 반지름이 1cm/s로 증가하는 원입니다 다시 말하자면 잔물결이 형성한 원은 지금 반지름이 3cm이고 1초 당 1cm로 반지름이 증가합니다 이렇게 주어졌을 때 원의 넓이는 어떤 비율로 증가할까요? 먼저 우리가 알고 있는 것과 우리가 모르기 때문에 구해야 할 것들을 정리해봅시다 이 원의 반지름을 r이라 하면 현재의 r은 3cm임을 알고 있습니다 또한 r의 시간에 대한 변화율도 알고 있습니다 시간에 대한 반지름의 변화율인 dr/dt가 1cm/s임을 알고 있습니다 dr/dt가 1cm/s임을 알고 있습니다 dr/dt가 1cm/s임을 알고 있습니다 여기서 무엇을 구해야 할까요? 원의 넓이가 증가하는 비율을 구하는 문제였죠? 따라서 우리는 원의 넓이가 증가하는 비율을 구해야 합니다 a를 원의 넓이라고 할 때 a가 증가하는 비율을 구해야 합니다 이것이 우리가 구해야 할 것입니다 이를 구하는데에는 원의 넓이와 반지름 사이의 관계 그리고 시간에 대한 원의 반지름이 변화율이 필요할 것입니다 그리고 문제의 해결을 위해서 연쇄법칙도 사용할 것입니다 특정한 시간이 주어졌을 때 원의 넓이와 원의 반지름 사이의 관계는 무엇일까요? 아주 기본적인 기하학이죠? 원의 면적은 원의 반지름의 제곱에 원주율을 곱한 값입니다 이제 우리가 구할 것은 이 넓이의 시간에 대한 변화율입니다 그러므로 양변을 시간에 대해서 미분해 봅시다 지금까지 찾은 것들을 다시 적어볼게요 원의 넓이는 원주율에 r의 제곱을 곱한 값입니다 원의 넓이는 원주율에 r의 제곱을 곱한 값입니다 양변을 시간에 대해서 미분해 보겠습니다 양변을반지름 r에 대해서 미분하는 것이 아니라 시간 t에 대해서 미분하겠습니다 먼저 좌변을 살펴보면 넓이를 시간에 대해서 미분합니다 좌변의 결과인 시간에 대한 넓이의 변화율을 다시 적어보겠습니다 이제 우변을 볼게요 상수가 곱해진 것을 미분할 때에는 상수를 빼놓고 미분을 하면 됩니다 그렇게 하면 원주율에 시간에 대한 r 제곱의 변화율을 곱한 값이 됩니다 앞으로 이를 연쇄법칙을 이용하서 계산할텐데 여기서 r은 시간에 대한 함수임을 기억해야 합니다 만약 r이 시간에 대한 함수가 아니였다면 원의 넓이 또한 시간에 대한 함수가 아니였을 것입니다 따라서 그냥 r을 적지 않고 r이 시간에 대한 함수라는 사실이 드러나도록 적어보겠습니다 r 대신 r(t)로 적겠습니다 r의 제곱은 r(t)의 제곱으로 쓸 수 있겠죠 이제 이것을 시간에 대해서 미분하면 됩니다 여기서 연쇄법칙을 사용하면 됩니다 먼저 어떤 문자를 제곱한 식을 그 문자에 대해서 미분하는 형태입니다 이러한 형태의 경우 미분한 결과는 그 문자에 2를 곱한 값이 됩니다 조금 더 명확하게 적어볼게요 조금 더 명확하게 적어볼게요 r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서 미분해야 합니다 r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서 미분해야 합니다 r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서 미분해야 합니다 만약 이것이 x의 제곱을 x에 대해서 미분하는 것이었다면 그 결과는 2x였을 것입니다 따라서 r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서 미분하는 경우에는 그 결과는 2r(t)가 됩니다 하지만 이 결과는 시간에 대해서 미분한 결과가 아니라 r(t)에 대해서 미분한 결과입니다 r(t)가 시간 t에 따라서 변하기 때문에 우리는 이 결과에 시간 t에 대한 r의 변화율을 곱해주어야 합니다 t에 대한 r의 변화율은 간단히 dr/dt로 나타낼 수 있습니다 두 가지 모두 동일한 표현입니다 그리고 앞에서 설명했듯이 앞에는 원주율이 곱해져 있습니다 주목할 것은 이 풀이과정에서 연쇄법칙을 사용했다는 것입니다 r(t)를 제곱한 식을 시간에 대해서 미분할 경우에는 먼저 r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서 미분을 해야 합니다 그 결과는 r(t)에 2를 곱한 값이 될 것이고 여기에 r(t)를 시간에 대해서 미분한 결과를 곱해주어야 합니다 여기에 r(t)를 시간에 대해서 미분한 결과를 곱해주어야 합니다 지금까지 진행해온 이 과정이 바로 연쇄법칙입니다 이 식은 앞에서 구한 시간에 대한 넓이의 변화율과 같습니다 이 식 전체를 다시 적어보겠습니다 이 식 전체를 다시 적어보겠습니다 좌변은 시간에 대한 원의 넓이의 변화율이 됩니다 우변의 경우 먼저 2를 앞으로 빼내 주면 2에 원주율 π를 곱하게 되고 이제 r이 t에 대한 함수라는 사실은 필요가 없으므로 다시 r(t) 대신 r을 써주면 2π에 r과 dr/dt를 곱해주면 됩니다 2π에 r과 dr/dt를 곱해주면 됩니다 2π에 r과 dr/dt를 곱해주면 됩니다 2π에 r과 dr/dt를 곱해주면 됩니다 이 식에서 우리가 알고 있는 것들이 뭐가 있을까요? 우리는 r이 얼마인지 알고 있습니다 주어진 시간에 r은 3cm입니다 3cm입니다 또한 dr/dt는 1cm/s임도 알고 있습니다 또한 dr/dt는 1cm/s임도 알고 있습니다 그렇다면 dA/dt는 얼마일까요? 2π에 3을 곱해주고 다시 1을 곱해주면 됩니다 단위를 맞춰보면 센티미터에 센티미터를 곱했으므로 센티미터에 센티미터를 곱했으므로 제곱 센티미터가 되고 제곱 센티미터가 되고 이것을 초로 나누면 됩니다 이는 좌변에서 얻고하자하는 시간에 대한 넓이의 변화율의 단위와 일치하는 단위입니다 따라서 시간에 대한 넓이의 변화율은 6π가 됩니다 어림잡아 계산해보면 이 순간에 시간에 대한 넓이의 변화율은 18cm²/s보다 조금 큰 값이 될 것입니다 18cm²/s보다 조금 큰 값이 될 것입니다 따라서 이 문제에서 구하고자 했던 시간에 따른 넓이의 변화율은 6π cm²/s입니다