이차원 운동 예제: 가속하는 벡터

한 점이 xy 좌표평면에서 움직입니다 시간 t가 0 이상일 때 위치벡터는 다음과 같습니다 점의 위치벡터의 x 성분과 y 성분이 주어졌고 둘 다 시간에 대한 함수입니다 t=3일 때 점의 가속도 벡터는 얼마일까요? t=3일 때 점의 가속도 벡터는 얼마일까요? 그럼 위치가 벡터함수임을 표시해봅시다 그럼 위치가 벡터함수임을 표시해봅시다 함수는 시간에 대한 함수일 것입니다 벡터입니다 그리고 위치의 x 성분은 -3t^3+4t^2이고 그리고 위치의 x 성분은 -3t^3+4t^2이고 y 성분은 t^3+2임이 주어졌습니다 y 성분은 t^3+2임이 주어졌습니다 그리고 0 이상인 t 값이 주어지면 여기에 대입할 수 있습니다 그리고 대응하는 x와 y 성분을 구할 수 있습니다 이것은 주어진 벡터에 대한 하나의 표기법이고 다른 방식으로는 공학적 표기법을 아실지도 모릅니다 공학적 표기법은 가끔 단위 벡터 표기법으로 불리기도 합니다 (-3t^3+4t^2) 곱하기 x 축 상의 단위벡터 (-3t^3+4t^2) 곱하기 x 축 상의 단위벡터 + (t^3+2) 곱하기 y 축 상의 단위벡터로 말입니다 + (t^3+2) 곱하기 y 축 상의 단위벡터로 말입니다 같은 것을 표시한 것입니다 x 성분 그리고 y 성분입니다 x 축 상의 성분이고 y 축 상의 성분입니다 x 축 상의 성분이고 y 축 상의 성분입니다 x 축 상의 성분이고 y 축 상의 성분입니다 이제 깨달아야 하는 중요한 사실은 속도함수는 그저 벡터의 도함수라는 것입니다 속도함수는 그저 벡터의 도함수라는 것입니다 그래서 V(t)=r'(t)일 것이고 그래서 V(t)=r'(t)일 것이고 대응하는 각각의 성분들의 도함수를 구해야 합니다 대응하는 각각의 성분들의 도함수를 구해야 합니다 자 그럼 해봅시다 만약 t에 대한 x성분의 도함수를 구하고 싶다면 만약 t에 대한 x성분의 도함수를 구하고 싶다면 그저 멱의 법칙을 여러 번 사용하면 됩니다 그럼 -3×3을 하면 -9t^2이 나오고 그럼 -3×3을 하면 -9t^2이 나오고 그러고 나서 2×4=8이므로 +8t를 씁니다 +8t를 씁니다 그러고 나서 y 성분이 있습니다 t^3의 도함수는 3t^2입니다 t^3의 도함수는 3t^2입니다 3t^2이라고 쓰고 나서 2의 도함수는 그저 0이므로 3t^2을 더 크게 쓸 공간이 생깁니다 2의 도함수는 그저 0이므로 3t^2을 더 크게 쓸 공간이 생깁니다 3t^2을 씁니다 그리고 만약 가속도함수 또는 시간에 따른 가속도를 나타내는 벡터함수를 구하고 싶다면 또는 시간에 따른 가속도를 나타내는 벡터함수를 구하고 싶다면 그것은 단지 시간에 대한 속도벡터의 도함수일 것입니다 그것은 단지 시간에 대한 속도벡터의 도함수일 것입니다 그것은 단지 시간에 대한 속도벡터의 도함수일 것입니다 그래서 x 성분은 다음과 같을 것입니다 그래서 다음과 같을 것입니다 공간을 남겨둡시다 그리고 x성분의 도함수를 다시 취하고 그리고 x성분의 도함수를 다시 취하고 그리고 아직 쓰여지지 않은 색을 찾아봅시다 초록색을 쓸 겁니다 자 그럼 봅시다 2×(-9)=-18 -18t+8 8t의 도함수는 그저 8입니다 만약 t에 대한 도함수를 취한다면 말입니다 만약 t에 대한 도함수를 취한다면 말입니다 그러고 나서 주황색으로 표현한 3t^2의 도함수를 구합시다 멱의 법칙을 반복해서 쓰는 것입니다 멱의 법칙을 반복해서 쓰는 것입니다 2×3t는 그저 6t가 됩니다 그래서 위치벡터함수를 2번 미분해서 그래서 위치벡터함수를 2번 미분해서 그래서 위치벡터함수를 2번 미분해서 가속도함수를 찾을 수 있습니다 그리고 이제 t=3일때의 값을 구해야 합니다 그래서 t=3일때의 가속도는 (-18×3+8 , 6×3) (-18×3+8 , 6×3) (-18×3+8 , 6×3) (-18×3+8 , 6×3) 그리고 간단하게 하면 뭘까요? 이 식을 계산하면 -18×3=-54 -54+8=-46 -54+8=-46 그리고 6×3=18 계산이 맞나요? 그래서 -54에 8을 더합니다 -54+4는 -50이 될 것이고 또 4를 더하면 -46이 될 것입니다 그러면 답이 나왔습니다 (-46 , 18) 이것이 t=3일 때의 가속도 벡터입니다 이것이 t=3일 때의 가속도 벡터입니다