운동 문제: 최대 가속도 구하기

입자가 시간 t가 0보다 크거나 같을 때 그 속도 v(t)가 -t^3+6t^2+2t가 되도록 x축을 따라 움직입니다 어떤 t의 값에서 입자의 가속도가 최대일까요? 언제 최대 가속도가 되는지를 알아야 하는군요 주어진 조건을 정리해 봅시다 속도를 시간의 함수로 주었습니다 복습을 해 봅시다 예를 들어 위치가 시간의 함수라면 x(t)로 놓죠 이것을 미분해서 x'(t)로 놓으면 그것이 시간에 대한 위치의 변화율 또는 속도를 시간에 대해 나타낸 것이고 또 속도를 미분하게 되면 시간에 대한 속도의 변화율이 되겠죠 곧 가속도를 시간의 함수로 나타낸 것입니다 속도가 주어졌군요 속도에서 가속도를 구할 수 있습니다 다시 그대로 써 보죠 v(t)가 -t^3+6t^2+2t니까 거기서 가속도를 시간의 함수로 구할 수 있고 그 식은 속도 함수를 t에 대해 미분한 것입니다 x^n 미분 공식을 몇 번 쓰면 되죠 먼저 t^3의 지수가 계수로 가니까 -3t^2+ 6*2=12니까 12t+2가 되죠 가속도를 시간의 함수로 구했는데 이것이 최대가 되는 게 언제인지 알아야 하죠 가속도 함수를 보니까 이차함수네요 2차 다항식이고 최고차항의 계수가 음수이니까 이차항의 계수가 음수죠 아래쪽으로 뻗는 포물선이 될 겁니다 아래쪽으로 벌어지는 포물선이요 같은 색으로 그리면 모양이 대강 이렇게 되고 실제로 최댓값을 가지는군요 그 최댓값은 어떻게 찾을까요? 최대가 될 때는 가속도 값이, 아니 가속도의 접선의 기울기가 0이 될 때이고 이계도함수 판별법을 통해 거기서 부호가 음수임을 보여서 아래로 오목이라는 것을 확인할 수 있습니다 한번 해 보죠, 먼저 가속도 함수의 이계도함수를 구해야 합니다 색을 바꿔서 이 색은 좀 희미하군요 가속도의 변화율인 도함수가 어떻게 되나면 -6t+12이군요 언제 이 값이 0이 되나요? 양변에 12를 빼면 -6t=-12가 되고 양변을 -6으로 나누니 t=2이군요 다양하게 설명이 가능합니다 여기 보니까 이차항의 계수가 음수라서 이 포물선은 아래로 벌어지는 걸 아는데 접선의 기울기가 t=2에서 0이니까 이건 최댓값이야 라고 말할 수도 있고 더 자세하게 이계도함수를 구해서 초보자를 위해 가속도함수의 이계도함수를 구하면 -6이 되니까 -6t의 도함수는 -6이고 상수의 도함수는 0이기 때문에 이계도함수가 항상 음수이게 돼 항상 아래로 오목이니까 t=2에서 이계도함수 판별법을 쓰면 t=2에서 가속도함수의 이계도함수가 음수이니까 이게 최댓값이라는 게 확실하죠 t=2에서 최대가 됩니다 그래서 이 입자가 가속도가 최대가 될 때는 언제라고요? t=2일 때입니다