극곡선으로 가두어진 넓이

우리는 이제 직교 좌표계에서 그래프 아래의 넓이를 구하는 일을 여러 번 해 보았습니다 영역을 여러 개의 직사각형으로 쪼개고 직사각형의 개수에 극한을 취하여 무수히 많고 무수히 얇은 직사각형들의 합으로 넓이를 구하는 리만합을 배웠습니다 이제는 극좌표계에서 해봅시다 극 좌표계에서는 엄밀히 말해서 곡선 아래의 영역을 구하는 것은 아닙니다 여기에 r = f(𝜃) 의 그래프를 𝜃 = α 부터 𝜃 = β 까지 그려놓았습니다 이 영상에서는 파란색 영역의 넓이를 구하는 식을 일반화하고자 합니다 이 영역은 r = f(𝜃) 의 그래프와 두 각으로 둘러싸여 있습니다 이 넓이를 나타내는 식을 구해보려고 노력해 봅시다 단, 한 가지 힌트를 드리겠습니다 직교 좌표계에서는 영역을 직사각형으로 나누었습니다 극 좌표계에서는 선들이 중심에서 뻗어 나오는 형태라 직사각형을 찾기가 쉽지 않습니다 하지만 만약 이 영역을 작은 부채꼴 모양으로 여러 부분으로 나눌 수 있다면 어떨까요? 밑에서 드릴 소리가 들립니다 마이크에 들리는지 모르겠습니다 이어서 설명하겠습니다 만약 이 영역을 부채꼴들로 쪼갠 후에 극한을 취해 무수히 많은 부채꼴 조각이 있는 것처럼 생각해 본다면 어떨까요? 부채꼴 조각들 각각의 넓이를 구할 것인데 조각들의 개수에 극한을 취한다면 아마도 무수히 얇고 무수히 많은 조각들이 생길 겁니다 이 조각들, 다시 말해 이 부채꼴 모양의 넓이에 대한 힌트를 한 가지 더 드리겠습니다 여기에 원을 그려보겠습니다 최대한 잘 그려보겠습니다 다행히 밑에서 들리던 소리가 조용해졌고 덕분에 이 강의에 더욱 집중할 수 있게 되었습니다 어찌 되었든 여기에 원이 있습니다 반지름은 r 입니다 여기에 부채꼴 하나를 그려보겠습니다 부채꼴이기 때문에 이 길이도 r 입니다 여기에 있는 각의 크기는 𝜃 입니다 색칠된 부채꼴의 넓이는 얼마일까요? 이것이 제가 드리는 힌트입니다 𝜃의 단위가 라디안일 때 이 영역의 넓이를 생각해 보시고 우리가 구하고자 하는 이 넓이에 대한 일반식을 어떻게 얻을 수 있을지 고민해 봅시다 다시 힌트를 드리고 있는 것입니다 적분을 사용해서 이 넓이를 구하는 식을 찾으면 됩니다 여러분이 이미 시도를 해보았다고 생각하겠습니다 이 원의 넓이를 구하는 것부터 시작해 봅시다 모두 아시다시피 원의 넓이를 구하는 공식은 πr^2 입니다 그러면 이 부채꼴의 넓이는 얼마일까요? 이 원의 일부분이 될 것입니다 원의 중심각은 2π 이기 때문에 중심각이 𝜃인 이 부채꼴의 넓이는 원의 넓이의 𝜃/2π 배입니다 그렇기 때문에 이 부채꼴의 넓이는 (πr^2)×(𝜃/2π) 입니다 우리가 정의한 이 부채꼴의 넓이를 나타내는 식은 (πr^2)×(𝜃/2π) 입니다 이 식을 정리해 보면 π가 소거되고 1/2×r^2×𝜃 가 됩니다 이제 중심각이 𝜃인 경우가 아닌 이 영역의 여러 부채꼴들에 대해 생각해 봅시다 제가 그린 부채꼴들 중에서 한 조각에 대해서만 생각해 봅시다 주황색으로 칠해 놓겠습니다 중심각이 𝜃가 아니라 매우 작은 어떤 각이라고 생각해 봅시다 이 개념의 이해를 돕기 위해 변화량 𝚫𝜃 라고 대충 표현할 것이지만 엄밀하게는 수학적으로 옳은 것은 아닙니다 𝚫𝜃 에 극한을 취하면 𝚫𝜃는 0에 한없이 가까워질 것입니다 이해를 돕기 위해 𝜃가 매우 작은 변화량을 가진다면 이를 𝒅𝜃 라 부르겠습니다 이 길이를 이 부분에 있는 원호의 반지름으로 볼 수 있습니다 여기 이 길이 r은 실질적으로 𝜃에 대한 함수이지만 여기서는 그냥 r 이라고 부르겠습니다 그래서 결국 이 부채꼴의 넓이는 무엇일까요? 이 부채꼴의 중심각을 𝜃가 아니라 변화량 𝒅𝜃 라고 하겠습니다 이때 이 부채꼴의 넓이는 공식 1/2×r^2×𝜃 에 대입하면 공식 1/2×r^2×𝜃 에 대입하면 넓이는 1/2×r^2×𝒅𝜃 가 됩니다 오른쪽의 그림에서 각은 𝜃 였지만 이 부채꼴의 중심각은 매우매우 작은 𝒅𝜃 입니다 이제 𝜃 = α 에서 𝜃 = β 까지 모든 부채꼴들을 더한다면 사실상 무한히 많은 부채꼴들을 더하는 것 입니다 𝒅𝜃 는 무한히 작은 각이기 때문입니다 따라서 이 영역 전체의 넓이는 이 모든 것을 적분한 것입니다 정리하면 α부터 β까지 1/2×r^2×𝒅𝜃 를 적분한 것이고 여기서 r 은 𝜃의 함수입니다 또는 r 이 𝜃의 함수임을 명확히 하기 위해 α부터 β까지 1/2×(r(𝜃))^2×𝒅𝜃 를 적분한 것이라고 적을 수도 있습니다 커넥트 번역 봉사단 | 박재우