누적함수의 성질 파악하기

g(x)는 0부터 x까지 f(x) dt의 정적분입니다 g(x)는 0부터 x까지 f(x) dt의 정적분입니다 g가 5부터 10까지의 개구간에서 아래로 볼록하다는 사실에 대한 미적분학에 기반한 설명은 무엇일까요? 아래로 볼록하다고 합니다 아래로 볼록하다는 것이 무슨 의미인지 생각하기 전에 g와 f의 관계에 대해 알아봅시다 g와 f의 관계에 대해 알아봅시다 이걸 이해하는 방법 중 하나는 이 방정식 양변의 도함수를 구하면 g'(x) = f(x)라는 것입니다 이것의 x에 대한 도함수는 f(x)입니다 이것의 x에 대한 도함수는 f(x)입니다 사실 여기에 변수 t가 있는 이유는 이것이 사실 x에 대한 함수이기 때문입니다 이것이 사실 x에 대한 함수이기 때문입니다 x가 상한이니까요 x가 상한인데 x에 대해 적분을 하는 것은 이상하고 헷갈립니다 적분을 하는 것은 이상하고 헷갈립니다 그래서 자리를 대신할 변수를 고른 것입니다 t일 필요는 없고 ⍺나 ɣ일 수도 있고 a, b, c 등 아무것이나 가능합니다 그래도 여전히 이것은 x의 함수입니다 양변의 도함수를 구하면 여기 그려져 있는 함수 f가 이게 x축이면 이건 f(x)고 이게 t축이면 그러면 y = f(t)입니다 일반적으로 이것이 함수 f의 그래프이고 g'의 그래프라고 할 수도 있습니다 만약 이것이 x라면 이것은 g'(x)입니다 또한 5부터 10까지의 개구간이라고 했습니다 또한 5부터 10까지의 개구간이라고 했습니다 g의 도함수가 그려져 있는데 미적분학에 기반해서 g가 아래로 오목한 이유를 알고자 합니다 아래로 오목하다는 뜻은 무엇인가요? 이는 접선의 기울기가 증가한다는 뜻입니다 이는 접선의 기울기가 증가한다는 뜻입니다 다르게 생각해보면 도함수가 증가한다는 뜻입니다 또 다르게 생각해보면 구간 안에서 도함수가 증가하면 그 구간 안에서 아래로 오목합니다 여기 도함수의 그래프를 보면 정말로 이 구간 안에서 증가하고 있습니다 따라서 미적분에 기반한 설명은 따라서 미적분에 기반한 설명은 f, 그러니까 g'이 그 구간 안에서 증가한다는 것입니다 도함수는 이 구간에서 증가하고 있고 이는 원시함수가 아래로 볼록하다는 뜻입니다 f는 이 구간에서 양수입니다 이는 미적분학에 기반한 충분한 설명이지 않습니다 만약 도함수가 양수라면 이는 원시함수가 증가한다는 뜻일 뿐이기 때문입니다 원시함수가 아래로 볼록하다고 말해주지는 않습니다 f는 구간에서 아래로 볼록합니다 도함수가 아래로 볼록하다고 해서 원시함수가 아래로 볼록하다는 뜻은 아닙니다 사실 이런 경우처럼 어떤 구간에서 아래로 볼록한 경우에도 여기의 대부분의 구간에서 이 그래프가 f, g'이라면 감소하고 있습니다 그리고 이 구간에서 대부분 감소한다면 사실 이 부분에선 원시함수는 위로 볼록합니다 g의 그래프는 구간 안에서 U모양입니다 g의 그래프가 있었다면 그런 설명을 할 수도 있지만 미적분에 기반한 설명이 아닙니다 더 풀어봅시다 다음 문제는 똑같은 형태입니다 여기 예제가 모두 그렇죠 g(x)는 이것과 같습니다 g가 x = 8에 극소를 가진다는 사실에 대한 미적분학에 기반한 설명은 무엇일까요? 미적분학에 기반한 설명은 무엇일까요? 이번에서 f의 그래프가 있고 이는 g의 도함수와 같습니다 도함수의 그래프를 보고 x = 8에 극소가 있는지 어떻게 알 수 있을까요? x = 8에 극소가 있는지 어떻게 알 수 있을까요? x축 위에 있다는 사실 y가 0과 같다는 사실 도함수가 x = 8에서 0이라는 사실이 이 점에서 g의 접선의 기울기가 0이라는 것을 말해줍니다 이 점에서 g의 접선의 기울기가 0이라는 것을 말해줍니다 하지만 이것만으로 극소가 있다고 말해주지는 않습니다 극소를 가지기 위해서는 도함수가 음수에서 양수로 지나가야 합니다 왜 중요하냐고요? 도함수가 음수에서 양수가 되는 것을 생각하면 도함수가 음수에서 양수가 되는 것을 생각하면 이는 원시함수가 감소하다 증가한다는 뜻입니다 감소하다 증가한다는 뜻입니다 그러면 극소를 갖게 되는 것입니다 그리고 이를 나타내는 보기는 이건 시작일 뿐 이것만으론 극소라는 것이 충분하지 않습니다 f는 x = 8 전에 음수이며 x = 8 후에 양수입니다 방금 말한 것과 똑같습니다 이걸 봅시다 f는 x = 6 주변 구간에서 아래로 볼록합니다 x = 6은 이것과 관련이 좀 없네요 g의 그래프 x = 8 주변에 g(8)이 최솟값인 구간이 있습니다 극소에 대한 설명이긴 하지만 미적분에 관련된 것은 아닙니다 이건 지우겠습니다 하나 더 풀어봅시다 똑같은 형식으로 다른 f와 g가 있고 그래프를 확인할 수 있습니다 g가 7부터 12까지의 폐구간에서 양수라는 사실에 대한 g가 7부터 12까지의 폐구간에서 양수라는 사실에 대한 미적분학에 기반한 설명은 무엇인가요? 7부터 12까지의 폐구간에서 양수라고 합니다 흥미롭네요 기억해 봅시다 0에서 x까지의 정적분이라는 뜻이 무엇인지 더 깊게 생각해 보도록 하죠 무엇인지 더 깊게 생각해 보도록 하죠 x = 7일 때 무슨 일이 있는지 생각해보면 x = 7일 때 이걸 다르게 생각해보면 g(7)은 0부터 7까지 f(t) dt의 정적분입니다 따라서 0부터 7까지의 정적분은 만약 이것이 t축이었다면 여기에서도 t는 자리를 차지하는 변수일 뿐으로 여기 x를 사용하게 해줍니다 하지만 지금 말하는 것은 이 넓이입니다 0부터 7까지 이 함수는 x축 위에 있으니 이건 양수의 넓이입니다 이건 양수의 넓이입니다 그리고 7부터 12까지는 넓이가 추가되지 않습니다 하지만 줄어들지도 않죠 따라서 g(7)부터 g(12)까지는 모두 같은 양수의 값입니다 값을 더하지 않으니까요 그리고 g(12)라고 하면 g(12)는 사실 g(7)과 같습니다 넓이가 추가되지 않으니까요 양수던 음수이든지요 어떤 보기가 맞는지 봅시다 x가 7부터 12까지인 구간에서 f(x)의 값은 0입니다 사실이지만 양수라는 뜻은 아닙니다 예를 들어 이 구간 전에 함수가 이랬다면 여기까지 음수의 넓이를 가졌을 것이고 이것 또한 음수였을 것입니다 이건 지우겠습니다 7부터 12까지의 폐구간 속 모든 x값에 대해 g(x)의 값은 양수입니다 7부터 12까지의 폐구간 속 모든 x값에 대해 g(x)의 값은 양수라고 합니다 사실입니다 이게 마음에 드네요 다른 것도 봅시다 f는 0부터 7까지 폐구간에서 양수이며 7부터 12까지 음수가 아닙니다 이것도 마음에 듭니다 사실 첫 번째 이것도 지울 수 있는 이유는 첫 번째 것은 도함수와 관련이 없으니 미적분학에 기반한 것이 아닙니다 따라서 이것을 지우겠습니다 이건 괜찮고요 제가 말하고 있던 것과 같습니다 f는 0부터 7까지 양수이고 여기 이 모든 양의 넓이를 만들며 이 구간에서 음수가 아닙니다 따라서 이 구간 전체 동안 g은 양수입니다 f의 아래 x축 사이의 넓이로 0에서 원하는 x까지를 말합니다 이것이 마음에 드네요 f는 7부터 12까지의 폐구간에서 아래로 볼록하지도 위로 볼록하지도 않습니다 g가 이 구간에서 양수라고 하는데 이는 도움이 되지 않습니다 g가 이 구간에서 양수라고 하는데 이는 도움이 되지 않습니다 따라서 보기 C입니다