닫힌구간 안의 평균값

이번 영상에서는 어떤 시간 간격에서 함수의 평균값을 찾는 방법을 배워보도록 하겠습니다 우선 함수의 평균값이 무엇인지 알아야 하겠군요 우선 그래프를 그려보겠습니다 x축과 y축은 이렇게 그려집니다 함수를 이렇게 보라색으로 그리고 이 함수를 y=f(x)라 하겠습니다 이제 폐구간 [a, b]를 생각해보겠습니다 폐구간이란 양 끝점을 포함하는 구간을 의미하는 말입니다 여기서 구하고 싶은 것은 폐구간 [a, b]에서 이 함수의 평균값, 또는 이 함수의 평균 높이입니다 이게 어떤 의미일까요? 어떤 높이에 x값의 폭을 곱해서 그 넓이가 함수의 아랫부분의 넓이와 같게 할 수 있습니다 그 값을 함수의 평균값이라 합니다 이를 구하기 위해서 우선 이 함수 아랫부분의 넓이를 구해야겠네요 이 노란색 부분의 넓이는 정적분으로 나타낼 수 있습니다 ∫f(x)dx를 x=a부터 x=b까지 계산하면 됩니다 [a, b]에서의 평균값을 구하고 있다는 것을 제목에 명시하겠습니다 이제 어떤 높이가 존재한다고 가정합시다 새로운 색으로 표시하는 게 좋겠네요 이 높이에 전체 구간의 폭을 곱하면 이 직사각형의 넓이가 됩니다 이 직사각형의 넓이가 노란색 영역의 넓이와 같아야 합니다 이렇게 되는 높이를 평균 높이라 합니다 이는 사다리꼴의 넓이를 구할 때도 이용됩니다 사다리꼴을 하나 그려볼까요? 이렇게 생긴 사다리꼴의 넓이를 구할 때 우리는 높이에 평균 너비를 곱하게 됩니다 90도 돌려서 생각해보면 평균 높이를 곱하는 것이 되겠죠 그 평균 높이는 윗변과 아랫변의 길이의 평균이 됩니다 더해서 반으로 나누면 되지요 하지만 이 함수는 일차 함수가 아닙니다 그러므로 더해서 반으로 나누는 아이디어는 쓸 수 없겠네요 하지만 근본적으로는 같은 아이디어를 이용하여 평균 높이를 구할 수 있습니다 함수의 평균값이라고도 하지요 수학식을 이용해서 계산해봅시다 함수의 평균값에 구간의 폭을 곱해봅시다 폐구간 [a, b]에서 구간의 폭은 큰 값에서 작은 값을 빼면 구할 수 있습니다 여기서는 b-a가 되겠네요 여기에 함수의 평균값을 곱하면 함수 아랫부분의 넓이가 됩니다 a에서 b까지 f(x)의 적분 값이죠 이제 모든 값을 알고 있으므로 양변을 b-a로 나누면 함수의 평균값은 b-a 분의 a에서 b까지 f(x)의 정적분이 됩니다 이 식을 다시 한번 해석해보겠습니다 함수 아랫부분의 전체 넓이를 구간의 폭으로 나누면 함수의 평균값을 구할 수 있습니다 이 식을 단순히 외우려고 해서는 안 됩니다 이 식이 어떻게 유도되었는지를 기억해야 합니다 함수의 평균값의 의미를 알면 이 식을 유도할 수 있지요 다음 영상에서는 이 식을 어떻게 적용하는지 살펴보도록 하겠습니다 커넥트 번역 봉사단 | 박혜준