그래프의 한쪽극한

다음 함수에서 x가 2보다 작은 값에서 2로 접근할 때 함숫값은 어떻게 됩니까? x가 2로 접근한다고 상상해봅시다 x는 1과 같아지고 1.5가 되고 1.9가 되고 1.9999가 되고 1.99999999와 같아집니다 x에 따른 f의 값은 어떻게 되고 있습니까? 그래프에서 함수가 접근하고 있는 값은 바로 이 값으로 보입니다 5로 접근하는 것처럼 보입니다 그래서 우리는 이 값을 x가 2로 접근할 때의 함수의 극한으로 표현할 것입니다 x가 음수 방향에서 2로 접근한다는 것을 표현하기 위해 우리는 2 뒤에 -부호를 위에 붙여서 접근하고 있는 방향을 나타냅니다 -2가 아닙니다 음수 방향에서 2로 접근하고 있습니다 2보다 작은 값에서 2로 접근하고 있습니다 2에 점점 가까워지고 있지만 아래방향에서 1.9, 1.99, 1.99999로 가까워집니다 x가 2에 점점 가까워질 때 f는 어디로 접근하고 있습니까? 그래프에서 f가 5로 접근하는 것을 볼 수 있습니다 그렇다면 다른 질문을 생각해봅시다 x가 2보다 큰 값에서 2로 접근할 때 함숫값의 극한은 어떻게 되겠습니까? 이번엔 위에 + 부호를 써야합니다 이번엔 x가 2로 접근하고 있지만 다른 방향에서 접근하고 있습니다 x는 3과 같아지고 2.5가 되고 2.1이 되고 2.01이 되고 2.0001과 같아집니다 2에 점점 가까워지고 있지만 2보다 큰 값에서 출발합니다 x가 3일 때 f는 여기입니다 x가 2.5일 때 f는 여기입니다 x가 2.01이 되면 f는 여기 있는 것처럼 보입니다 이 경우에 f는 점점 1과 가까워지고 있습니다 절대 1과 같아지진 않습니다 실제로 값은 불연속적으로 뛰어오릅니다 이 값은 x가 2보다 큰 값에서 2로 접근할 때 극한값으로 보입니다 따라서 여기에 적힐 값은 1입니다 일반적인 상황에서 극한에 대해 생각할 때 2에서의 극한값이 존재하려면 양 쪽 방향에서의 극한값이 같아야합니다 이 상황에서는 그렇지 않습니다 2보다 작은 값에서 2로 접근할 때 함수는 5로 접근하고 있습니다 2보다 큰 값에서 2로 접근할 때는 함수가 1로 접근하고 있습니다 이 경우 극한은 x가 음의 방향에서 2로 접근할 때 f의 극한값(좌극한)과 x가 양의 방향에서 2로 접근할 때 f의 극한값(우극한)이 같지 않습니다 양 쪽의 극한값이 같지 않은 경우 극한은 존재하지 않습니다 일반적인 상황에서 x가 2에 접근할 때 함수의 극한값은 존재하지 않습니다 극한값이 존재하기 위해서는 두 극한 값이 서로 같아야 합니다 예를 들어서 누군가가 x가 4로 접근할 때 함수의 극한값이 무엇인지 묻는다면 우리는 좌극한과 우극한의 두 극한값에 대해 생각해볼 수 있습니다 x가 왼쪽에서 4로 접근할 때 극한값을 그려보겠습니다 x가 왼쪽방향에서 4와 같아질 때를 생각해봅시다 x가 3일 때 f는 -2입니다 x가 3.5일 때 f는 여기에 있습니다 x가 3.9일때는 여기에 있고 3.999에 있을때는 여기에 있습니다 점점 가까워질수록 함수는 -5와 같아지고 있습니다 왼쪽 방향에서 4로 접근할 때의 극한인 좌극한은 -5와 같아집니다 x가 4보다 큰 값에서 4로 접근할 때 오른쪽방향에서 접근하고 있는 우극한도 똑같이 구합니다 5에서의 함숫값은 여기입니다 4.5의 함숫값은 여기이고 4.1의 함숫값은 여기이고 4.01의 함숫값은 여기에 있습니다 4의 함숫값도 정의되지만 우리는 계속해서 가까이 가고 있습니다 또 다시 우리는 -5로 접근하고 있습니다 4에서의 함숫값이 정의되지 않더라도 -5로 접근하게 될 것입니다 따라서 극한값은 -5입니다 좌극한과 우극한이 같기때문에 두 극한이 같다고 할 수 있습니다 두 극한이 같기 때문에 x가 4로 접근할 때 f의 극한값이 5와 같아짐을 알 수 있습니다 몇 가지 예를 더 봅시다 새로운 함수에서 x가 8로 접근할 때 f의 극한값을 생각해봅시다 8의 좌극한부터 생각해봅시다 x가 8보다 작은 값에서 8로 접근할 때 함수의 극한은 어떻게 되겠습니까? 영상을 잠시 멈추고 스스로 풀어보는 것도 좋습니다 x가 8에 점점 가까워지고 있습니다 x가 7일 때의 함숫값은 여기입니다 x가 7.5일 때의 함숫값은 여기입니다 x의 함숫값이 점점 3에 가까워지고 있습니다 음의 방향에서 x가 8에 가까워질 때 함수의 극한값은 3과 같아집니다 양의 방향에서는 어떻게 되겠습니까? x가 양의 방향에서 8로 가까워질 때 즉 오른쪽 방향에서 접근할 때의 극한값은 무엇입니까? x가 9일 때 함숫값은 여기입니다 x가 8.5일 때 함숫값은 여기입니다 함숫값이 1에 가까워지고 있습니다 두 극한값이 다르다는 것을 생각하십시오 따라서 x가 8로 접근할 때 양 방향에서의 극한은 존재하지 않습니다 식으로 써보겠습니다 두 극한값이 같지 않기 때문에 x가 8로 접근할 때 극한은 존재하지 않습니다 하나의 예를 더 봅시다 질문 하나를 묻고 있습니다 함수가 아래에 그려져있습니다 x가 음의 방향에서 -2로 접근하고 있을 때 함수의 극한값은 무엇입니까? 음의 방향에서 -2로 접근하고 있습니다 x가 -2로 접근할 때 어떻게 되는지 살펴봅시다 -2에서는 x가 정의되지 않습니다 음의 방향에서 접근할 때 그러니까 -2보다 작은 값에서 접근할 때입니다. 다시 말해 왼쪽 방향에서 접근할 때 어떻게 되는지 살펴봅시다 왼쪽에서 접근할 때 -4의 함숫값은 여기입니다 -4의 함숫값은 여기입니다 -3의 함숫값은 여기입니다 -2.5의 함숫값은여기입니다 함숫값이 점점 4에 가까워지는 것을 볼 수 있습니다 그래프에서 보이는대로 한다면 x가 음의 방향에서 -2로 접근할 때 함숫값의 극한은 4가 됩니다 양의 방향에서 x가 -2로 접근할 때 함숫값이 어떻게 되는지 살펴본다면 비슷한 결과를 얻을 수 있습니다 x가 0일 때부터 접근해보면 0일 때 함숫값은 여기입니다 x가 1일 때의 함숫값은 여기입니다 x가 -1일 때의 함숫값은 여기입니다 x가 -1.9일 때의 함숫값은 여기입니다 또 다시 점점 4로 가까워지는 결과를 얻을 수 있습니다 좌극한과 우극한이 같기 때문에 즉 양 쪽 극한값이 같은 지점에 접근하고 있기 때문에 x가 -2로 접근할 때 함숫값에 대해 말할 수 있습니다 양 쪽 방향에서 같은 극한값을 가지기 때문에 우리는 극한값이 존재한다고 말할 수 있습니다 그리고 그 극한값은 4입니다