무한대에서 삼각함수를 포함한 분수의 극한

다음을 구해봅시다 x가 무한대로 갈 때 cos(x)/(x²-1) 의 극한값은 무엇일까요? x가 무한대로 갈 때 cos(x)/(x²-1) 의 극한값은 무엇일까요? 비디오를 잠시 멈추고 스스로 풀어봅시다 문제를 접근하는 방법은 여러 가지가 있습니다 식을 따져 보며 생각할 수도 있습니다 분자가 cos(x) 인데 그 값은 -1과 1 사이를 진동할 것입니다 그 값은 -1과 1 사이를 진동할 것입니다 cos(x)는 -1보다 크거나 같고 1보다 작습니다 cos(x)는 -1보다 크거나 같고 1보다 작습니다 cos(x)는 -1보다 크거나 같고 1보다 작습니다 즉 분자는 x가 변하면서 -1과 1 사이를 진동합니다 즉 분자는 x가 변하면서 -1과 1 사이를 진동합니다 이 경우는 x가 증가할 때입니다 분모에는 x²가 있는데 x가 커지면 커질수록 분모는 매우 커질 것입니다 즉 -1과 1 사이에서 닫힌 식을 즉 -1과 1 사이에서 닫힌 식을 무한히 큰 수로 나눈 것입니다 유계한 분자를 무한히 큰 분모로 나누면 그 값은 0에 수렴할 것입니다 생각할 수 있는 한 가지 방법입니다 또 다른 방법은 같은 주장을 조금 더 수학적으로 하는 것입니다 코사인이 -1과 1사이에 닫혀 있기 때문에 cos(x)/(x²-1) 이 cos(x)/(x²-1) 이 다음 식보다 작거나 같다고 할 수 있습니다 분자의 최댓값이 1이므로 1/(x²-1) 보다 작거나 같을 것입니다 1/(x²-1) 보다 작거나 같을 것입니다 또 다음 식보다 크거나 같다고 할 수 있습니다 또 다음 식보다 크거나 같다고 할 수 있습니다 분자의 최솟값이 -1이므로 분자의 최솟값이 -1이므로 -1/(x²-1) 보다 크거나 같을 것입니다 다시 말해 저는 cos(x)이 최대 1이고 최소 -1이라고 말한 것일 뿐입니다 모든 x에 대해 부등식이 성립합니다 그러므로 우리는 x가 무한대로 갈 때 극한값에 대해서도 모든 x에 대해 성립한다고 할 수 있습니다 극한값에 대해서도 모든 x에 대해 성립한다고 할 수 있습니다 x가 무한대로 갈 때의 극한값 x가 무한대로 갈 때의 극한값 이제 다음 주장을 할 수 있습니다 분자가 상수이고 분모가 무한히 커지므로 0에 수렴할 것입니다 즉 이 식은 0이 다음 극한값보다 작거나 같다는 식이 됩니다 x가 무한대로 갈 때 lim cos(x)/(x²-1) x가 무한대로 갈 때 lim cos(x)/(x²-1) 이 식은 또 다음보다 작거나 같습니다 오른쪽의 식 또한 0입니다 상수를 무계한 분모로 나누면 분모가 무한히 커지므로 0에 수렴할 것입니다 즉 구하는 극한값은 0과 0 사이의 값입니다 만약 0이 극한값보다 작거나 같은데 극한값 또한 0보다 작거나 같으면 극한값은 0입니다 극한값은 0입니다 커넥트 번역 봉사단 | 윤유상