분리 가능한 방정식이란?

우리는 지금까지 미분방정식이 무엇인지 생각해보고 방향장 등을 이용해서 미분방정식의 해를 시각화하기도 했습니다 그럼 이제 실제로 미분방정식을 풀 수 있는지 알아봅시다 미분방정식은 다양한 종류가 있고 각각은 다른 풀이를 요구합니다 그리고 그중 일부는 분석적 방법으로는 해결할 수 없어서 수적인 방법으로 해를 추정해야 합니다 그러나 풀기에 가장 간단한 미분방정식 형태는 변수분리형입니다 변수분리형 미분방정식 왜 이것이 변수분리형 미분방정식 이라고 불리는지 살펴봅시다 예를 들어 x에 대한 y의 도함수가 -x / y X e^(x^2) 이 미분방정식이 주어졌고 우리는 (0,1)을 지나는 특정한 해를 찾고자 합니다 잠시 영상을 일시정지하고 대수학을 통해서 방정식의 한 변을 y와 dy만 남기고 다른 변에는 x와 dx만 남긴 후 적분합니다 여러분은 이 점을 포함하는 이 미분방정식의 특정한 해를 구할 수 있을 지도 모릅니다 구하지 못하더라도 괜찮습니다 지금부터 함께 구할 것입니다 대수학을 조금 사용해서 모든 y와 dy를 한 변에 모든 x와 dx를 다른 변으로 이항합니다 이번에는 모든 y와 dy를 좌변에 모든 x와 dx는 우변으로 정리하겠습니다 우선 양변에 y를 곱합니다 y를 곱해서 모든 y는 좌변에 있게 됩니다 이번엔 양변에 dx를 곱하겠습니다 양변에 dx를 곱하는데 이것들을 이 미분들을 변수취급할 수 있습니다 그리고 다른 변수들로부터 분리해줄 수 있습니다 따라서 분자 분모가 지워집니다 y와 dy만 남았네요 y, dy는 -x와 다시 쓰겠습니다. -x, e 공간이 더 필요하겠네요 따라서 -x X e^-x의 제곱 dx가 됩니다 dx. 이것은 흥미롭습니다 양변을 미분할 수 있기 때문입니다 이는 왜 이러한 형태를 분리가능하다 고 하는지 보여줍니다 모든 미분방정식을 이렇게 변수분리할 수 있는 것은 아닙니다 모든 미분방정식을 대수적으로 y와 dy를 한 변에 x와 dx를 다른 변으로 정리가 불가능하지만 이번 방정식은 가능합니다 그래서 이것을 변수분리형 미분방정식이라 부릅니다 미분방정식 그리고 변수분리는 맨 처음에 시도해야 할 풀이입니다 y와 x를 분리하는 것은 많은 미분방정식에서 불가능합니다 그러나 이 방정식은 가능하고 변수분리를 했으므로 양변을 각각 적분해줄 수 있습니다 해봅시다 적분하기에 좋은 색깔을 찾겠습니다 양변을 적분하겠습니다 좌변을 적분하면 어떻게 됩니까? 우리는 여기서 y에 대해서 적분하고 있습니다 따라서 y^2 / 2 가 되며 여기에 적분상수를 더해줍니다 적분상수를 C라고 하겠습니다 좌변을 적분한 것은 우변을 적분한 것과 같게 됩니다 이제 우변에서는 x에 대해 적분합니다 u 치환이 가능한지 살펴봅시다 혹은 형태를 보면 -x^2을 미분하면 -2x가 됩니다 따라서 2가 있었다면 적분한 값이 달라지지 않으려면 1/2를 여기에 곱해줍니다 명쾌하게 u치환을 하거나 머릿속에서 할 수 있습니다 u=-x^2 라고 놓는다면 du는 -2x dx가 됩니다 이 부분을 머릿속으로 처리해도 됩니다 이 식과 그것의 도함수가 있으므로 저것에 대해서 적분할 수 있으며 마찬가지로 이 식도 u에 대해 적분할 수 있습니다 따라서 1/2가 됩니다 여기에 있는 1/2을 앞에 써줍니다 부정적분을 하면 e^(-x^2) 그리고 당연히 다른 적분상수를 써줍니다 C2라고 부르겠습니다 다시, 여기서 이 부분 제가 방금 한 부분인 u치환이 이해가 가지 않는다면 그 부분을 돌려보며 복습합시다 이제 여기서 무엇을 해야할까요? 우변에 상수가 하나 있습니다 이것은 임의의 상수로 그 값을 알지 못합니다 아직 초기조건을 사용하지 않아서 임의의 상수로 놓을 수 있습니다 양변에 C1을 빼겠습니다 양변에 모두 C1을 빼면 임의의 상수 값이 같으므로 소거되고 여기서 C2가 있으므로 잘못 말했습니다 C1이 있으므로 이쪽은 소거되고 이쪽은 C2 - C1가 됩니다 둘 다 임의의 상수이므로 아직 그 값이 무엇인지 알지 못합니다. 따라서, 식을 다시 쓰면 좌변에는 y^2/2이 있으며 이는 우변과 값이 같습니다 1/2 e를 쓰겠습니다 파란색으로 쓰겠습니다 단지 이전에 파란색으로 썼기 때문입니다 1/2 e^(-x^2) 그리고 C2-C1은 그냥 C라고 부르겠습니다 이 두 값을 합하고 C라고 부르겠습니다 따라서 이것은 일종의 일반해입니다 아직 이 상수가 얼마인지 알지 못하고 y에 대해서 명쾌하게 해를 구하지 않았습니다 그러나 이 형태에서도 우리는 특수해를 찾을 수 있습니다 초기 조건을 이용해서 말입니다 선으로 구분하겠습니다 이것은 여기 있는 원래 표현의 일부입니다 그러나 이 초기 조건을 이용해서 이 조건은 x=0일때 y=1이 되어야 한다는 걸 알려줍니다 1^2은 1이 되고 이를 2로 나눈 것은 1/2 곱하기 e^(-0^2)가 됩니다 그것은 e^0이 되므로 1입니다. 이것은 1/2+C가 되고 이처럼 우리는 추정할 수 있습니다 양변에 1/2를 빼면 C=0이 되고 따라서 이 점을 지나는 y와 x의 관계식은 C=0이므로 이것이 0이므로 이부분이 0이 됩니다. 남은 부분이 y^2/2= e^(-x^2) /2 양변에 2를 곱하면 y^2이 됩니다 y^2이 됩니다 제가 하겠습니다 y^2= e^(-x^2) 이제 양변에 루트를 씌워주면 보시면 알다시피 y는 y=±제곱근 e^(-x^2) e^(-x^2) 그러나 초기조건에서 y는 양수만 되므로 우리가 구하는 이 점을 지나는 특수해는 y가 양의 제곱근이 되어야 합니다 만약 x=0에서 y=-1이었다면 y가 음의 제곱근이 되었을 것입니다 그러나 여기서 y는 양의 제곱근이 되고 이것의 주제곱근이 됩니다 더 깔끔하게 쓰면 검정색으로 쓰고 있는 줄 알았습니다 이 부분을 없애버릴 수 있습니다 우리는 양의 제곱근만 다루고 있으므로 y=(e^(-x^2))^1/2 라고 쓸 수 있습니다 그리고 당연히 이는 e^(-x^2 /2)와 같습니다 따라서 이 부분은 혹은 y=e^(-x^2 /2) 가 특수해가 됩니다 초기 조건을 만족합니다 원래의 미분방정식 중에서 말입니다 마찬가지로 복습차원에서 보자면 이 미분방정식이 이러한 형태였기 때문에 다시 말해서 대수적으로 y와 dy를 x와 dx로부터 분리할 수 있었으므로 이를 대수적으로 분리하고 양변을 적분한 후 주어진 초기 조건의 정보를 이용해서 특수해를 구할 수 있었습니다 커넥트 번역 봉사단 | 이서영