기본 도함수 공식

우리는 급수의 법칙을 압니다 그리고 저번 비디오에서 x^n을 x에 대해서 미분하면 n*x^(n-1)이라는 것을 알았습니다 n이 0이 아닌 경우에 미분의 더 많은 규칙이나 개념, 특성들을 소개하고자 합니다 어떠한 다항식도 미분할 수 있게 해주는 그래서 지금 하는 것은 강력한 것입니다 가장 먼저 n이 0이 아닐 때 성립하는 이 특별한 경우에 대해서 생각하고 싶습니다 n이 0이 되면 어떻게 될까요? 상황을 생각해 봅시다 x^0을 x에 대해 미분해 봅시다 x^0은 무엇인가요? 이 경우에 x는 0이 아니라고 가정해 봅시다 0^0은 이상합니다 x가 0이 아니라면 x^0은 어떻게 될까요? 이것은 x^1을 x에 대해 미분한 것과 같습니다 x^0은 1이 될것입니다 1의 x에 대한 미분은 어떻게 될까요? 답을 알기 위해 그래프를 그려보겠습니다 f(x)=1의 그래프를 그려보겠습니다 분명히 하기 위해서 이것이 y축이고 이것은 x축입니다 y=1 혹은 f(x)=1의 그래프를 그려보겠습니다 저기가 1입니다 f(x)=1은 단순히 수평선입니다 저기 있는 그래프가 y=f(x)=1의 그래프입니다 이제 미분을 기억하세요 미분을 생각하는 방법 중 하나는 임의의 점에서 접선의 기울기 입니다 이 점에서 접선의 기울기는 무엇입니까? 모든 점에서의 기울기는 무엇입니까? 이것은 선이라서 기울기는 변하지 않습니다 일정한 기울기를 가지고 있습니다 그리고 이것은 완전한 수평선 입니다 기울기는 0입니다 모든 점에서의 기울기는 0이 될 것입니다 이 선의 모든 점에서의 기울기는 0입니다 모든 상수 함수에 대해 만족하는 것입니다 예를 들어 f(x)=3이라는 함수를 생각해 봅시다 저것이 y=3이라고 해봅시다 y의 x에 대한 미분값은 무엇이 될까요? 의도적으로 미분의 다양한 표기법을 보여주고 있습니다 dy/dx는 무엇일까요? 이것은 또한 y' 으로 쓸 수 있습니다 저것이 무엇이 될까요? 바로 임의의 점에서의 기울기입니다 x값이 무엇이 되던지 간에 기울기는 0이 됩니다 0이 될 것입니다 이것은 단순히 x^0이 아닙니다 어떤 상수함수를 미분해도 0이 됩니다 써봅시다 모든 상수 함수의 x에대한 미분은 A가 상수라고 해봅시다 0이 될 것입니다 꽤 직접적인 생각입니다 조금 더 많은 특성에 대해 알아봅시다 x에 대한 미분을 알고 싶다고 해봅시다 같은 A를 사용합시다 상수 곱하기 어떤 함수가 있습니다 미분이 꽤 잘 됩니다 여기 곱해진 것을, 이 상수를 미분 밖으로 뺄 수 있습니다 이것은 A가 될 것입니다 마젠타 색으로 하고 싶지 않습니다 이것은 A곱하기 df(x)/dx가 될 것입니다 파란색으로 써보겠습니다 f(x)의 미분을 의미하는 다른 방법은 이것이 같은거라고 말하는 것입니다 이것은 A곱하기 여기 있는 것입니다 f'(x)와 같습니다 꽤 멋있는 표기법으로 보입니다 어떤 예시를 주면 이해가 될 것입니다 2*x^5을 x에 대해 미분하면 어떻게 될까요? 방금 명확히한 성질에 따르면 이것은 2곱하기 x^5을 x에 대해 미분한 것입니다 2곱하기 x^5의 x에 대한 미분입니다 이 상수를 미분 밖으로 뺄 수 있습니다 여기 있는 것이 x^5을 x에 대해 미분한 것입니다 급수의 법칙을 이용해서 계산할 수 있습니다 이것은 2곱하기 색깔을 일치시키고 싶습니다 이것은 2곱하기 x^5의 x에 대한 미분입니다 n은 5입니다 급수의 법칙에 의해 5곱하기 x^(5-1) 즉 5*x^4이 됩니다 5*x^4에 2를 곱하면 10*x^4 입니다 2*x^5은 급수의 법칙에 따라 미분값이 5*x^4입니다 5*2는 10입니다 간단하게 되었습니다 우리는 급수의 법칙과 한가지 특성을 이용해서 A곱하기 x^n 형태의 미분을 할 수 있습니다 또 다른 매우 유용한 미분법에 대해서 생각해 봅시다 이것은 급수 법칙에만 적용되는 것은 아닙니다 어떠한 미분에도 적용됩니다 하지만 급수 법칙에 특히 유용합니다 왜냐하면 이것은 다항식을 미분할 수 있게 해주기 때문입니다 하지만 만약에 두 함수의 합을 미분하고 싶으면 하나의 함수는 f(x)라고 하고 다른 함수는 g(x)라고 합시다 이것이 d(x)/dx + dg(x)/dx과 같다는 것은 행운입니다 명확히 하기 위해서 미분 연산자를 사용합시다 이것은 df(x)/dx 더하기 dg(x)/dx과 같습니다 f(x)를 여기에 놓고 g(x)를 저기에 놓겠습니다 다른 표기법으로 이것이 같다고 말할 수 있습니다 df(x)/dx을 f'(x)라고 쓸 수 있습니다 또한 dg(x)/dx는 g'(x)라고 쓸 수 있습니다 이것은 여러분에게 어려운 표기법으로 보일 수 있습니다 하지만 예시를 보면 분명해질 것입니다 x에 대해 미분하고 싶다고 해봅시다 x^3+x^(-4)을 이것은 단지 합의 미분이 미분의 합과 같다고 말하고 있습니다 그래서 이것을 급수의 법칙을 이용해 미분할 수 있습니다 이것은 3*x^2이 될 것입니다 우리는 이것의 미분값을 여기에 쓸 수 있습니다 더하기 저건 파란색입니다 지수가 -4 입니다 더하기 -4*x^(-4-1)가 됩니다 혹은 x^(-5)이라고 할 수 있습니다 이것을 간단히 해보면 3*x^2 빼기 4*x^(-5)입니다 우리는 도구함에 우리가 필요한 도구들을 모두 가지고 있습니다 어떠한 다항식도 미분할 수 있는 연습을 조금 해봅시다 흰색으로 쓰겠습니다 f(x)가 2*x^3 빼기 7*x^2+3x - 100 이라고 합시다 f'(x)는 무엇입니까? f(x)를 x에 대해 미분하면 어떻게 될까요? 우리가 사용한 성질을 사용하면 됩니다 이것의 미분은 2곱하기 x^3의 미분 x^3의 미분은 3*x^2이 될 것입니다 즉 2*3*x^2입니다 -7*x^2의 미분은 어떻게 될까요? 이것은 -7 곱하기 x^2의 미분입니다 x^2 미분은 2x입니다 3x의 미분은 어떻게 될까요? 이것은 3곱하기 x의 미분이 될 것입니다 혹은 3곱하기 x^1의 미분입니다 x^1의 미분은 1입니다 그래서 이것은 그냥 3*1^0 그냥 1입니다 마지막으로 상수의 미분은 어떻게 될까요? 다른색으로 쓰겠습니다 상수의 미분은 어떻게 될까요? 이 영상의 처음 부분에 상수의 미분은 0 이라고 했습니다 이제 간단히 하면 됩니다 f의 미분은 2*3*x^2은 6*x^2이고 -7*2x는 -14x가 되고 거기에 3을 더하면 됩니다 0을 쓸 필요는 없습니다 다 했습니다 이제 어떠한 다항식도 미분할 수 있는 능력을 갖추었습니다 사실 다항식 이상의 것까지도 미분 할 수 있는