도함수 추정하기

이 표는 미분이 가능한 함수 f의 특정 값 몇 개를 보여주고 있습니다 몇 개의 x값에서의 함수값을 보여주고 있죠 정확히는 x값 다섯 개와 그에 따른 f(x)의 값을 보여주고 있습니다 f'(4)의 가장 정확한 추정치가 무엇인가요? 이 표기는 x가 4일 때 그에 따른 도함수의 값을 나타냅니다 또한 이는 x가 4일 때 f(x)의 접선의 기울기와도 같습니다 f'(4)의 가장 정확한 추정치는 이 표에 따르면 얼마인가요? 선택지를 살펴보기 전 문제를 먼저 시각화해 봅시다 여기 축을 그려보겠습니다 그리고 이 점들을 그래프에 찍어 보겠습니다 우리는 이 점들이 y는 f(x)의 곡선 위에 위치할 것이라는 것을 압니다 x가 0일 때 f(x)는 72입니다 이 점이 그에 해당합니다 그리고 이 점이 x가 3일 때 y가 95인 점입니다 x축과 y축의 축척은 보시다시피 서로 다릅니다 이 점이 x가 5일 때 y가 112인 점이고요 이 점이 x가 6일 때 y가 77인 점입니다 이 점은 x가 9일 때 y가 54인 점입니다 한 번 적어보도록 하겠습니다 1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9 그리고 10입니다 이제 질문이 원하는 것은 x가 4일 때 도함수의 값은 무엇인지입니다 그런데 문제에서는 x가 4일 때 함수값을 말해주지 않았습니다 해당 점이 어디에 있는지 알려주지 않았죠 하지만 문제에서 원하는 것은 최대한 정확한 추정치입니다 주어진 점들만 가지고는 곡선이 정확히 어떻게 생겼는지도 알 수 없습니다 어떤 모양이든 될 수 있으니까요 합리적으로 생각하면 부드러운 곡선이 될 수도 있습니다 이렇게 생긴 곡선일 수도 있죠 하지만 이보다 더 특이한 모양일 수도 있습니다 이렇게 생긴 곡선일 수도 있죠 한 번 해 보겠습니다 이렇게 생긴 곡선일 수도 있습니다 따라서 정확히 알 수는 없습니다 우리가 아는 것은 곡선이 주어진 점들을 지나야 한다는 것 뿐입니다 왜냐하면 함수에서 추출한 몇몇 표본값들이니까요 하지만 이 문제에서는 제일 단순한 곡선을 가정합시다 부드럽고 잔잔한 지나치게 많은 휘어짐이 없는 이와 같은 곡선이라고 가정해 봅시다 질문에서 묻는 것은 x가 4일 때 만약 이 노란 곡선의 함수의 실제 곡선과 일치한다면 이 점에서의 접선의 기울기는 무엇일까요? 이렇게 시각화를 해 볼 수 있습니다 한 가지 명확히 하자면 방금 제가 그린 이 접선은 이 점들을 지나는 함수 중 제가 가정한 함수에만 해당한다는 것입니다 이 곡선이 실제 함수와 일치한다는 보장은 없습니다 우리는 실제 함수가 주어진 점들을 지나야 한다는 것을 알고 있습니다 이 그림은 단지 이해의 목적으로 그린 것입니다 여기서 중요한 것은 우리에게는 표본값만 주어진 상태이고 최대한 정확한 추정치를 구하려고 한다는 것입니다 구한 추정치가 실제로 얼마나 정확할지는 알 수 없습니다 하지만 가능한 한 정확한 추정치일 것입니다 일반적으로 이처럼 찾으려는 점 주변의 데이터만 가지고 있는 경우에는 찾으려는 점에서 가장 가까운 점들을 사용해 그 점들에서의 접선들의 기울기를 구하면 됩니다 이것이 원하는 접선의 기울기의 가장 정확한 추정치를 구하는 방법입니다 그러면 f(4) 즉 x값이 4일 때의 점에 가장 가까운 점들은 무엇일까요? x가 3일 때 함수값이 무엇인지는 주어졌습니다 바로 이 점입니다 다른 색으로 칠해보겠습니다 x가 3이고 y가 95인 점은 바로 이 점입니다 그리고 x가 5일 때 y가 112인 점도 주어졌습니다 바로 이 점입니다 이제 여기서 생기는 질문은 이것입니다 이 두 점 사이의 평균변화율은 얼마일까요? 혹은 이렇게 생각해 볼 수 있습니다 이 두 점 사이의 할선의 기울기는 얼마일까요? 이것이 x가 4일 때 접선의 기울기에 가장 근접한 추정치일 것입니다 이것이 정확한 추정치일까요? 이 추정치가 실제 기울기에 아주 근접할까요? 그건 확실히 모르지만 이것이 실제와 가능한 한 가장 정확한 추정치입니다 x가 3인 점과 x가 6인 점 사이의 평균변화율을 구하는 것보다는 정확할 것입니다 혹은 x가 0인 점과 x가 9인 점을 선택하는 것보다는 정확합니다 이 두 점이 4와 가장 근접한 두 점들이니까요 이제 답을 구해봅시다 x가 3에서 5로 변화할 때 평균변화율을 구해봅시다 여기서 볼 수 있듯이 이것이 x의 변화량입니다 새로운 색깔로 표시해 보겠습니다 여기서 x의 변화량은 양수 2입니다 한 번 그려보겠습니다 여기서 x의 변화량은 양수 2입니다 그리고 y의 변화량 x가 2만큼 커졌을 때 y의 변화량을 봅시다 10을 더하면 105가 됩니다 다시 7을 더하면 총 17이네요 따라서 y의 변화량은 17입니다 양수 17이죠 이제 y의 변화량에서 x의 변화량을 나눈 값을 구해봅시다 x의 변화량을 나눈 값을 구해봅시다 x가 3인 점과 x가 5인 점 사이의 할선의 변화율은 17 / 2입니다 17 / 2입니다 17 / 2입니다 이는 8.5입니다 따라서 이 초록석 직선의 기울기는 8.5입니다 그리고 이것이 x가 4일 때 y는 f(x) 위의 접선의 가장 근접한 기울기입니다 운이 좋게도 이 문제를 만든 사람들도 여기 보이는 것처럼 같은 논리를 사용했네요 꼭 제가 그린 대로 그래프를 그릴 필요는 없습니다 그저 시각적인 이해를 위해 마음대로 그린 것이니까요 일반적으로 이러한 문제를 접하게 되면 출제자의 의도는 모든 데이터를 가지고 있지 않으니 f'(4)가 무엇인지 정확히 구할 수는 없지만 f'(4)에 근접해 있는 다른 점들을 찾은 후 할선을 그려서 할선의 기울기 혹은 두 점 사이의 평균변화율을 구하면 그것이 x가 4일 때 순간변화율의 가장 근접한 추정치가 된다는 것입니다 혹은 x가 4일 때의 도함수 값이기도 하죠