제곱의 합 최적화 문제

두 수의 곱이 -16일 때 두 수의 곱이 -16일 때 두 수의 제곱의 합이 가장 작게 되는 경우는 무엇일까요? 두 수의 제곱의 합이 가장 작게 되는 경우는 무엇일까요? 두 수의 제곱의 합이 가장 작게 되는 경우는 무엇일까요? 두 수를 각각 x와 y라고 합시다 두 수의 제곱의 합을 어떻게 정의해야 할까요? 두 수의 제곱의 합을 s라고 정의하겠습니다 그리고 이 s는 x²+y²와 같고 이것을 최소로 만들려고 합니다 우리는 s를 최소로 만들려고 합니다 이 s는 x와 y의 함수로 나타낼 수 있습니다 두 개의 변수에 대해 최소값을 구하는 법을 모르기 때문에 이를 하나의 변수로 나타내어 보겠습니다 다행히도 또 다른 정보 하나가 있습니다 둘의 곱이 -16이라는 것입니다. 즉 xy = -16 입니다. 이 식을 x에 대한 식으로만 나타내려고 합니다 이 식을 x에 대한 식으로만 나타내려고 합니다 그러기 위해서 y를 x에 대한 식으로 나타내고 y에 그 식을 대입합시다 여기 이 식의 양변을 x로 나누면 y = -16/x 라는 식을 얻을 수 있습니다 이제 이 식의 y에 -16/x를 대입합시다 이제 이 식의 y에 -16/x를 대입합시다 그렇다면 이 x의 함수인 제곱의 합은 x² + y²과 같고 y는 -16/x이고 여기 제곱을 해줍니다 이는 x² + 256/x²과 같습니다 혹은 256 곱하기 x의 -2제곱으로도 쓸 수 있습니다 따라서 이것이 우리가 최소값을 구하고 싶은 제곱의 합입니다 이 식의 최소값을 구하기 위해서는 도함수가 0이 되거나 정의되지 않는 극점을 찾아야 하고 그 다음에는 그 극점에서 최소값을 가지는지 최대값을 가지는지 확인해야 합니다 극값은 최소값이나 최대값이 아닐 수 있지만 최소값이나 최대값이 되는 점은 항상 극점 중에 하나가 됩니다 이제 이를 미분해봅시다 미분한 값을 s'이라고 합시다 x의 도함수 s'(x)는 2x - 512/x³이 됩니다 2x -512/x³이 됩니다 2x -512/x³이 됩니다 만약 x가 0이라면 이 값은 정의되지 않습니다 그러나 만약 x가 0이라면 y 또한 정의되지 않습니다 따라서 문제가 성립하지 않습니다 즉 x=0은 유용하지 않은 극점입니다 극값을 가지는 다른 점을 찾아봅시다 이 식은 x=0이외의 모든 점에서는 정의가 되기 때문에 도함수가 0이 되는 점을 찾아봅시다 이 값은 언제 0이 될까요? 즉, 2x - 512/x³은 언제 0이 될까요? 양변에 512/x³을 더해봅시다 2x가 512/x³과 같아야 한다는 것을 알 수 있습니다 양변에 x³을 곱하면 우변에 있는 x가 다 사라지게 됩니다 따라서 2x⁴ = 512를 얻게 됩니다 양변을 2로 나누게 되면 x⁴= 256이 되고 256의 네제곱근은 뭘까요? 우선 양변에 제곱근을 취해봅시다 256이 16의 제곱이므로 256이 16의 제곱이므로 x² = 16이 됩니다 따라서 x=4라는 것을 알 수 있습니다 x=4가 유일한 극점이므로 이것이 제곱의 합을 최소로 만드는 x의 값이 됩니다 이것이 정말 최소값인지 확인해봅시다 확인을 위해서 이차도함수 판정법을 사용해봅시다 s를 두번 미분해서 얻은 s''(x)가 x=4일 때 위로 볼록인지 아래로 볼록인지 확인해봅시다 s''(x)가 x=4일 때 위로 볼록인지 아래로 볼록인지 확인해봅시다 s''(x) = 2 s''(x) = 2 s''(x) = 2 + s''(x) = 2 + 1536 s''(x) = 2 + 1536 s''(x) = 2 + 1536 s''(x) = 2 + 1536/x⁴ s''(x) = 2 + 1536/x⁴ 가 됩니다 이 식은 모든 x에 대해 양수가 됩니다 이 식은 모든 x에 대해 양수가 됩니다 1/x⁴는 x가 음수인 경우에도 양수가 됩니다 다른 모든 것이 양수이므로 전체는 항상 양수가 됩니다 따라서 항상 아래로 볼록임을 알 수 있습니다 아래로 볼록이라는 것은 그래프가 이렇게 생긴 것을 말합니다 아래로 볼록이라는 것은 그래프가 이렇게 생긴 것을 말합니다 아래로 볼록이라는 것은 그래프가 이렇게 생긴 것을 말합니다 아래로 볼록이라는 것은 그래프가 이렇게 생긴 것을 말합니다 그리고 이차도함수가 양수인 것이 아래로 볼록을 의미하는 이유를 확인할 수 있는데요 이차도함수가 양수이면 도함수가 계속 증가하기 때문에 이차도함수가 양수이면 도함수가 계속 증가하기 때문에 음수 였다가 더 작은 음수가 되고 점점 크기가 작아집니다 다른 색깔로 그려봅시다 음수 였다가 더 작은 음수가 되고 점점 크기가 작아집니다 0이 되고 양수가 되고 더 큰 양수가 됩니다 즉, 항상 증가하는 것을 볼 수 있습니다 따라서 도함수가 0이 되는 극점에서는 기울기가 0이고 아래로 볼록이기 때문에 함수의 최소값을 가지는 것을 볼 수 있습니다 그렇다면 y의 값은 어떻게 될까요? 사실 제곱의 합의 최소값을 구하기 위해서 y의 값이 무엇인지 알아내야 할 필요는 없습니다 여기에 x를 대입해서 알아내면 되기 때문이죠 하지만 우리는 y=-16/x라는 걸 알고 있기 때문에 y가 -4라는 것을 쉽게 알 수 있습니다 따라서 이제 우리는 제곱의 합의 최소값을 알 수 있습니다 제곱의 합의 최소값은 4의 제곱 16 더하기 -4의 제곱 16, 32가 됩니다 여러분들 중 누군가는 이를 미적분 없이 할 수 있다고 생각할 수 있습니다 두 수를 곱해서 -16이 되는 수들을 대입하다보면 4와 -4를 금방 시도해 볼 것이고 이 값이 다른 값들 2와 -8, -2와 8, 1과 16을 대입한 값보다 작음을 볼 수 있습니다 그것은 사실이고 여러분은 그렇게도 할 수 있지만 그렇게 최소값을 구한다면 4.01, 4.0011과 같은 값을 시도해보지 않았기 때문에 그 값이 최소임을 확신할 수 없습니다 또한 여러분은 모든 가능한 값을 시도해 볼 수 없습니다 기억해야할 것은 x와 y가 정수라는 조건이 없다는 것입니다 이 경우에는 우연히 최소값을 x와 y가 정수일 때 가졌을 뿐입니다 만약 문제에서 두 수의 곱이 -16이 아니라 -17이어야 했다고 한다면 어떤 일이 벌어질까요? 혹은 -16.5라면? 혹은 pi^2이라면? 이 경우에는 모든 경우의 수를 시도해 볼 수 없고 결국 이 동영상에서 사용했던 방법을 사용해야 할 것입니다