단면을 이용한 부피: 반원

여기 있는 이 그래프가 x+y=1의 그래프입니다. 제 1사분면 상에서 이 그래프 밑에 있는 영역은 입체 도형의 바탕모형 입니다. 여기 이 부분이요. 우리가 이 입체 도형에 대해 아는 것은 만약 우리가 이것을 x축에 수직으로 횡단면을 자른다면, 다시 말해 y축에 평행으로 이렇게 횡단면을 자른다면 우리는 그 횡단면이 반원임을 압니다. 같은 입체도형을 약간만 다른 시각에서 본다면 우리는 이런 것을 볼 수 있겠죠. 좌표평면을 바닥에 두고 위에서 이 도형을 보는 겁니다. 이 도형이 투명하다고 생각하고 이 횡단면을 비스듬히 본다면 이 횡단면은 바로 여기 있을 겁니다. 반원인 바로 그 횡단면 말이죠. 만약 여기 y축에 있는 이 부분을 보자면 그것은 이 횡단면이겠네요. 더 큰 반원이죠. 제가 방금 말씀드린 것들을 가지고 여러분이 이 비디오를 잠시 멈추고 제가 색칠한 이 도형의 부피를 구할 수 있는지 봅시다. 제가 시작했던 이 도형의 부피말입니다. 우리가 시각화하고자 하는 이 입체도형말이죠. 여러분들이 시도해봤다고 생각하겠습니다. 그것을 구하는 방법은, 일단 이것들의 각각을 구하는 겁니다. 도형을 여러 개의 원판으로 나누고 여러분들이 각각의 원판의 부피를 구할 수 있다면 그것들을 합쳤을 때 이 전체 도형의 부피의 꽤 정확한 근삿값이 나올겁니다. 만약 이 도형을 무한히 얇은 무한히 많은 수의 원판으로 나누면 정확한 부피를 구할 수 있겠네요. 근삿값부터 먼저 구해봅시다. 여기는 원판의 x축 상의 지름이 되겠네요. 다시 말하지만 x+y=1이니까 이것은 f(x)=1-x와 같네요. 여기 이 원의 지름은 좀 더 분명히 말하자면 이 높이가 될 거구요 1-x와 x축, 혹은 1-x와 x=0의 의 차이가 되겠네요. 여기는 f(x)가 될 거구요 길이는 1-x가 되겠네요. 이제 원의 영역을 구하고 싶다면 우리는 원의 넓이가 (πxrxr) 인 걸 알죠. 이 반원을 구하려면 이 식을 2로 나누어야 합니다. 그래서 반지름은 얼마일까요? 이 반원들 중 하나의 반지름은 얼마일까요? 이렇게 그릴 수 있겠네요. 비스듬하게 그리려고 하고 있습니다. 지름의 반, 즉 반지름은 얼마일까요? 지름은 1-x입니다. 그러니 반지름은 (1-x)/2입니다. 여기 이 부분이 말입니다. (1-x)/2가 반지름입니다. 그래서 이 부분의 넓이는 얼마일까요? 이게 완전한 원이었다면 (πxrxr) 이겠지만 반원이니까 (πxrxr)/2이네요. 이 영역을 f(x)라 한다면 f(x)는 π/2 에다가 (1-x)/2를 제곱한 것이 될겁니다. 만약 이 원판의 넓이만 구하고 싶다면 그러면 이 넓이에다가 이 깊이만 곱하면 될 겁니다. 이 깊이를 dx 또는 델타 x라고 하죠. 다시 분명히 말하자면 이 하나의 원판의 부피는 (π/2)x{(1-x)/2의 제곱}x(깊이)가 될겁니다. (넓이)x(깊이)인거죠. 이것이 이 반쪽 원판들 중 하나의 부피입니다. 전체의 부피를 추정하자면 이것들의 합을 구하거나, 델타 x를 아주 아주 아주 작게 만들어서 무한 개의 이것들을 구하면 됩니다. 사실 이렇게 하는 건 정적분을 취하는 거죠. 정적분을 통해서 이 도형의 부피, x=0부터 x=1까지의 정적분으로 구할 수 있습니다. x=0에서 x=1까지 아주 아주 얇은 무한한 이것들의 합을 구하면 (π/2)x {(1-x)/2의 제곱}인데 여기서 (1-x)의 제곱을 전개하면 x제곱-2x+1이 되겠네요. 2의 제곱은 4니까 /4이고요. 델타 x 대신 dx로 쓰면 이제 이것들을 무한히 더해주면 부피는 이 정적분을 취한 값이 될겁니다. 할 수 있다는 생각이 들면 비디오를 멈춰서 정적분을 구해보세요. 여기서 π/8을 앞으로 빼내주면 부피는 (π/8)x 0에서 1까지 {(x제곱)-2x+1} dx를 정적분한 값인데 이는 (π/8)x 이것의 부정적분, {(x세제곱)/3-(x제곱) +x}을 0에서 1까지의 범위에서 구한 값입니다. 그 값은 (π/8)을 (1/3-1+1) =(π/8)x(1/3) 에다가 (0-0+0)을 뺀 값에 곱한 것과 같습니다. 따라서 답은 (π/8)x(1/3)이므로 (π/24)가 되겠네요.