구간 안의 평균 가속도

여기에 점이 있다고 해봅시다 그 점이 이러한 1차원 위치에 있다고 하고 t라고 주어진 시간에 대한 함수식에 의해 점이 움직인다고 합시다 그 점의 좌표는 여기에 쓰여있는 것과 같습니다 여기에서 영상을 잠시 멈춰주세요 그리고 평균 가속도가 얼마인지 구해보세요 이 점이 이동한 닫힌 구간 t가 1일 때부터 t가 2일 때까지 말이죠 이게 뭔지 아시겠나요? 이것은 뭐와 같을까요? 여러분이 시도했다고 가정하고 여러분이 가장 먼저 깨달아햐 하는 것은 우리가 분명히 알지 못하는 함수의 평균값을 구하려 한다는 겁니다 우리는 위치에 대한 함수는 알지만 가속도에 대한 함수는 알지 못합니다 그러나 다행히도 속도함수는 시간에 대해 표현되는 위치함수를 미분함으로써 알 수 있습니다 위치함수를 미분함으로써 알 수 있습니다 가속함수는 이를 두 번 미분함으로써 알 수 있습니다 이 구간에서의 평균값을 구해야 합니다 그걸 한 번 해봅시다 이 식을 두 번 미분해봅시다 하지만 이걸 하기 전에 이 식을 다시 한 번 써보겠습니다 조금 더 알아보기 쉽게 만들기 위해서 말이죠 조금 더 알아보기 쉽게 만들기 위해서 말이죠 이 두 문자를 각각 숫자에 대입하고 이 식의 각 항을 t²로 나누면 t³은 t²으로 나누면 t가 되고 2는 t²로 나누면 2xt^(-2)이 됩니다 이제 미분을 해봅시다 속도 함수는 속도를 시간에 대해서 나타낸 것이기 때문에 미분도 시간에 대해서 해야 합니다 t를 t에 대해서 미분하면 1이 되고 2xt^(-2)을 t에 대해 미분하면 앞의 계수는 2에 지수였던 -2를 곱해 -4가 되고 지수는 원래 지수에서 하나를 뺀 t^(-3)이 되겠네요 시간에 대한 식에서 가속도를 구하기 위해서는 이 식을 시간에 대해서 다시 미분을 해야 합니다 시간에 대한 함수에서 가속도는 아 왼쪽에 있는 식과 같은 색이네요 여기에서는 다른 색으로 하겠습니다 이 시간에 대한 함수에서 가속도는 이 식을 시간에 대해서 미분하면 됩니다 상수는 시간이 변함에 따라 변하지 않으므로 미분하면 0입니다 그리고 여기 있는 t^(-3)은 t에 대해 미분하면 계수는 12 지수는 -4가 되어 t^(-4)이 됩니다 이제 평균값을 찾을 겁니다 평균값은 어떠한 적분 구간에서의 적분값을 적분 구간의 길이로 나눈 것과 같습니다 즉 다시 말하자면 적분 값을 적분 구간의 길이로 나누어도 같은 값이 나옵니다 1/(2-1) 간단히 정리하면 1과 적분값을 곱하면 됩니다 1부터 2까지 t에 대해 적분한 것은 방금 쓴 이 식의 값과 같습니다 이것은 어떻게 간단하게 표현할 수 있을까요? 이 식의 값은 1이기 때문에 이 분수식은 1로 쓸 수 있고 적분 기호 안에 있는 이 식에 대해 미분의 역연산을 취해주면 t^(-3)이 되지만 이 식을 미분할 때 지수에 있던 값이 곱해진 것이기 때문에 이 식에 미분의 역연산을 취해주면 그 값은 계수는 -4, t의 지수는 -3이 됩니다 만약 이게 부정적분이었다면 뒤에 어떤 상수를 붙여야 했겠지만 이 식은 정적분이므로 여기에 상수를 붙이면 계산하는 과정에서 상수가 상쇄됩니다 실제로 계산을 해서 나오는 값에서 t의 계수는 적분 기호 안에 있는 식의 계수를 그 식의 지수로 나눈 값입니다 12/(-3)=-4 입니다 그리고 -4xt의^(-3)을 1부터 2까지 적분을 하면 2가 적분 구간의 위 쪽에 있으므로 t에 2를 대입한 값인 -4x2^(-3)을 곱한 값인 -4와 2^(-3)인 1/8을 곱한 값에서 2^(-3)인 1/8을 곱한 값에서 이 식에 1을 대입한 값을 빼줘야 합니다 -4와 1^(-3)인 1을 곱해야 하므로 -4와 1^(-3)인 1을 곱해야 하므로 -4x1을 빼줘야 합니다 그리고 그 값은 그리고 그 값은 여기 왼쪽에 있는 값은 -1/2이 되고 이 오른쪽에 있는 값은 4가 되므로 4-1/2이고 3과 1/2이라는 답을 얻을 수 있습니다 그리고 이 값을 가분수로 적으면 7/2라는 값이 나옵니다 따라서 이 적분을 통해 구한 가속도의 평균값은 7/2입니다 만약 위치가 초에 대한 미터로 주어졌다면 7/2m/s²가 1초부터 2초까지의 평균 가속도가 됩니다