곡선과 y축 사이의 넓이

여기를 보면 함수 y = 15/x의 그래프가 있습니다 적어도 양수 x값의 일부가 있네요 이번 동영상에서 궁금한 것은 양의 x축과 곡선 사이의 넓이가 아니라 양의 x축과 곡선 사이의 넓이가 아니라 곡선과 y축 사이의 넓이를 구하려 합니다 경계가 두 x값이 아니라 두 개의 y값이 되는 것이죠 그래서 하한은 수평선으로 y = e입니다 상한은 y = e³입니다 그러면 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 이 문제를 생각하는 방법 중 하나는 이건 이전에 정적분처럼 곡선과 x축 사이를 보는 것과 거의 같은데 이제 몇 가지가 바뀐 것이라 하는 것입니다 이제 y축을 생각해야 합니다 그러니 함수를 다시 써서 x에 대한 것으로 만들어 봅시다 y = 15/x라면 양변을 x로 곱했을 때 xy = 15가 됩니다 양변을 y로 나누면 x = 15/y가 됩니다 이 둘은 동치입니다 이게 어떻게 도움이 될까요? 넓이를 생각해 보세요 넓이를 작은 직사각형들로 근사한다 생각해 보세요 넓이를 작은 직사각형들로 근사한다 생각해 보세요 여기 직사각형이 하나 있고 여기도 다른 직사각형이 하나 여기도 다른 직사각형이 하나 있다고 말이죠 이 각각 직사각형의 넓이는 무엇일까요? 이것의 너비는 x입니다 하지만 x를 y에 대한 함수로 나타낼 수 있죠 너비는 이러하고 이것은 15/y라는 것을 알 수 있습니다 높이는 무엇일까요? 그건 y의 아주 작은 변화입니다 높이는 dy입니다 따라서 이 작은 직사각형 하나의 넓이는 이것의 넓이라 하면 이렇게 볼 수 있습니다 여기에 쓰겠습니다 15/y dy입니다 그리고 이 모든 작은 직사각형을 y = e에서 y = e³까지 더해야 합니다 y = e에서 y = e³까지 더해야 합니다 그건 정적분의 일이죠 y = e에서 y = e³까지 갑니다 이런 건 이미 많이 보았을 것입니다 이건 15/x고 dx가 있는 경우를요 여기에는 15/y dy가 있습니다 그럼 이걸 계산해 보죠 15/y의 부정적분을 구해서 두 점에서 계산하면 됩니다 이것은 무엇과 같내면 1/y의 부정적분은 ln|y|입니다 따라서 15 ln|y|가 됩니다 따라서 15 ln|y|가 됩니다 그리고 이것을 종점에서 계산하면 됩니다 e³에서 계산하고 e³에서 계산하고 e에서 계산합니다 먼저 e³에서 계산해 봅시다 15 ln|e³|에서 15 ln|e³|에서 15 ln|e³|에서 15 ln|e|를 뺍니다 15 ln|e|를 뺍니다 간단히 하면 어떻게 될까요? ln|e³|은 e에 어떤 지수가 있어야 e³이 될까요? 3이죠 그리고 ln e는 e에 어떤 지수가 있어야 e가 될까요? 그냥 1입니다 따라서 이건 15 · 3 - 15입니다 45 -15는 30입니다 45 -15는 30입니다