변화율 함수 아래 넓이는 총 변화량을 나타냅니다

어떤 물체가 5m/s의 일정한 속도로 운동한다고 가정합시다 이는 일차원에서의 속도입니다 속도가 음수라면 왼쪽으로 양수라면 오른쪽으로 움직입니다 이 영상에서 알고 싶은 것은 4초 동안의 거리 변화입니다 Δ는 변화량을 의미합니다 Δ는 변화량을 의미합니다 t=0부터 t=4까지가 시간의 변화가 됩니다 이 시간 동안의 운동을 생각해보고자 합니다 이를 계산하기 위한 한 가지 방법은 변화율의 정의를 이용하는 것입니다 이 경우에서는 거리의 변화량을 시간의 변화량으로 나눈 것이지요 다른 방법으로는 양변에 시간의 변화량을 곱해서 거리의 변화량을 속력과 시간의 변화량의 곱으로 나타내는 것입니다 이 식은 거리는 속력과 시간의 곱이라는 식과 같죠 이 식이 변화율의 정의로부터 나온 겁니다 변화율은 어떤 양의 변화에 대한 다른 양의 변화를 의미하죠 이를 적용하면 속력은 5m/s로 일정한데 Δt는 4초니까 4초를 곱해주면 답이 20m가 되겠네요 답이 20m가 되겠네요 거리에서 사용한 색깔과 같은 색을 사용하겠습니다 답이 20m가 됩니다 단위 s는 약분되죠 4초 동안 이동한 총 거리는 20m가 됩니다 새로운 개념은 없네요 멋있는 개념도 없고요 여기서 오늘 하고자 하는 것은 이 값을 그래프의 영역과 연결하는 것입니다 그래프를 그려볼까요? 그래프를 그려볼까요? 이게 속력 축이고 이게 시간 축입니다 시간의 단위는 s이고 속력의 단위는 m/s입니다 점을 찍겠습니다 5칸이면 충분하겠죠? 이쪽으로도 점을 찍겠습니다 이 예제에서 속력은 5m/s의 상수입니다 5m/s의 상수입니다 t에 대한 함수가 아니죠 방금 왼쪽 식에서 한 것이 뭔가요? 단순하게 속력과 시간을 곱했습니다 속력을 시간과 곱했습니다 시간은 0에서 4까지이고 이는 이 길이에 해당하죠 축 위에서 생각하면 말입니다 이를 일정한 속력에 곱합니다 둘을 곱하게 되면 밑변과 높이를 곱하는 것이므로 무엇을 얻게 되나요? 이 속력 함수의 아래쪽 넓이가 되겠네요 그 값은 20입니다 단위까지 생각한다면 면적을 구할 때 면적을 구할 때 단위도 곱해주어야 합니다 단위도 곱해주어야 합니다 이 그래프에서는 m/s와 s를 곱해 m가 되지요 여기서 중요한 것은 이 영역의 넓이가 20m라는 것입니다 이를 적용하면 속력 함수의 아래쪽 넓이는 그 시간 동안의 변화량임을 알 수 있습니다 이를 보이기 위해서 다른 복잡한 속력 함수를 사용해보겠습니다 조금 특이한 모양으로 속력 함수를 만들어볼까요? 노란색을 계속 사용하겠습니다 속력 함수가 음 어떻게 하면 좋을까요? 시간이 0초 이상 2초 이하일 때 속력이 1m/s라고 가정합시다 그리고 나머지 부분인 2초보다 큰 부분에서는 속력이 2m/s라 합시다 그래프가 어떻게 그려질까요? 우선 스스로 그려보세요 처음 5초 동안의 이동 거리는 얼마일까요? Δt를 4초가 아니라 5초로 잡아보겠습니다 이제 그래프를 그려볼까요? 이제 그래프를 그려볼까요? 여기가 1m/s입니다 여기가 1m/s입니다 여기가 2m/s이고요 여기가 2m/s이고요 이게 속력 축입니다 이 축은 시간 축입니다 두 축의 비율이 같지 않네요 점을 표시하겠습니다 속력 함수는 어떻게 그려지나요? t가 0 이상 2 이하일 때는 1m/s가 됩니다 그리고 속력이 갑자기 증가하죠 실제로는 이렇게 될 수 없습니다 속력을 한순간에 증가시키기 위해서는 엄청나게 큰 힘을 주거나 아주 작은 질량의 물체여야 합니다 어쨌든 물리학적으로는 말이 안 되지만 일단 계산을 해 보겠습니다 연속적이지 않은 속도이지만 계산에는 문제가 없습니다 2초가 지난 후에는 물체가 2m/s의 속력으로 운동합니다 이제 5초 동안의 총 이동 거리는 얼마가 될까요? 0초에서 5초까지의 구간을 생각하기 위해 구간을 나눠보겠습니다 우선 첫 2초 동안을 볼까요? 시간의 변화는 2초입니다 이 구간에서 속력은 일정하죠 1m/s를 2s와 곱합니다 그러면 2m가 나오겠네요 따라서 여기 있는 주황색의 넓이는 2m가 됩니다 이제 다음 영역을 살펴봅시다 시간의 변화는 3초입니다 여기에 속력인 2m/s를 곱하면 6m의 면적을 얻을 수 있습니다 두 경우 모두 단위를 계산하면 m/s와 s를 곱했으므로 m가 남게 됩니다 2m에 6m를 더해주면 8m가 됩니다 따라서 속력 함수의 그래프의 넓이를 이용해서 총 거리의 변화량을 구할 수 있었습니다 이 경우 변화율의 단위는 m/s였습니다 속력이 아니더라도 어떤 변화율의 함수가 주어졌을 때 총변화량을 구하기 위해서 함수 아래의 영역을 이용할 수 있습니다 커넥트 번역 봉사단 | 박혜준