미적분학의 기본정리 두 번째 부분에 대한 직관

s(t)함수가 있습니다 시간에 대한 위치 함수로 정의되어 있죠 시간에 대한 위치 함수로 정의되어 있죠 여기에 s(t)그래프를 그려보겠습니다 시간축인 가로축이 있습니다 그래프를 그려보죠 포물선처럼 보이는 그래프로 그릴 겁니다 임의의 모양으로 그릴 수도 있겠지만 설명을 간단하게 하기 위해 포물선같이 그리겠습니다 이걸 y축이라 부릅시다 y=s(t)라고 정의해서 시간에 대한 위치를 그래프로 그릴 수 있겠죠 이제 두 시간 사이에서 위치가 어떤 변화가 일어나는지 생각 해 봅시다 시간 a, 여기를 시간 a라 합시다 여기는 시간 b입니다 시간 b는 바로 여기입니다 a에서 b까지 시간이 흐르면서 어떤 일이 일어날까요? 시간 b에서 우린 s(b)위치에 있겠죠 그리고 시간 a에서 우리는 s(a)위치에 있습니다 a와 b사이에서 위치의 변화는 여기에 쓰겠습니다 a와 b사이의 당연 해 보이지만 여기에 쓰겠습니다 위치의 변화는 이 위치, s(b)에서 이 위치, s(a)를 뺸 것이죠 놀랍지는 않군요 하지만 이제 도함수을 살펴봅시다 s(t)의 도함수입니다, 바로 여기요 시간에 대한 함수의 도함수는 과연 어떨까요? 기억하세요, 도함수는 어떤 점에서의 접선의 기울기를 알려줍니다 한 점에 집중합니다 바로 여기요 접선의 기울기 t가 아주 조금 변할 때 -눈에 띄도록 과장하겠습니다- 위치가 얼마나 변할까요? 위치가 얼마나 변할까요? ds/dt라고 쓰도록 하죠 임의의 시간에 대한 도함수입니다 시간 변화에 따른 위치의 변화율을 알아봅시다 이건 무엇과 같을까요? 바로 속도죠 네, 속도와 같습니다 하지만 다른 표기를 사용하겠습니다 이것 자체는 시간에 대한 함수입니다 이것을 s'(t)라 쓸 수 있죠 이건 s(t)의 도함수를 두 가지 방법으로 나타낸 것입니다 이것이 시간에 대한 함수라는게 더 명확히 드러나죠 그리고 이것이 시간에 대한 함수인 속도, v(t)인 것을 압니다 v(t) 그래프가 어떻게 생겼는지 그려봅시다 그려볼게요 여기에 새로운 좌표축을 넣고 감쪽같네요 저한테 보수를 좀 줘야 겠어요 꽤 괜찮네요 그리고 v(t)그래프를 그려보겠습니다 다시 말하지만 이건 y축이고, 이건 t축입니다 y=v(t)그래프를 그릴 거에요 이게 진짜 포물선이라면 여기 기울기, 즉 변화율은 0이었다가 계속 커집니다 더, 더, 더 커집니다 그러면 v(t)는 이런 모습이겠네요 그러면 v(t)는 이런 모습이겠네요 이것이 y=v(t)그래프 입니다 이제 이 그래프를 이용해서 시간 a와 b사이에서 거리 즉 위치의 차이를 구체적으로 살펴 봅시다 즉 위치의 차이를 구체적으로 살펴 봅시다 리만합으로 돌아가서 아주 작은 직사각형이 무엇을 의미하는지 생각해 봅시다 이 그래프의 아래 부분을 직사각형들로 나눕시다 좀 크게 그릴게요 쓸 공간이 필요하니까요 원래는 더 작은 직사각형이지만요 왼쪽 리만 합을 할 예정입니다 이전에 해 본 적이 있으니까요 물론 오른쪽 리만 합을 할 수도 있고요 원한다면야 사다리꼴들을 더할 수도 있습니다 이렇게 계속 그려 나가면 됩니다 3개의 직사각형을 그리겠습니다 여기에 마저 그리겠습니다 사실 이건 대략적일 뿐이지만 더 비슷한 걸 머릿속으로 그려 볼 수 있겠죠 그렇다면 이 직사각형 넓이가 무엇을 뜻하고 이것의 근삿값는 무엇일까요? 여기가 바로 f(a)입니다 사실 v(a)라고 해야겠네요 v(a)의 크기는 바로 여기까지 높이와 같습니다 그리고 이곳까지의 거리 차는 시간의 변화입니다 곱하기 Δt 그래서 이 직사각형의 넓이는 이 순간의 속도와 시간 변화를 곱한 값입니다 그 순간의 속도와 시간 변화를 곱한 것이 과연 무엇일까요? 그건 위치 변화입니다 이것은 이 시간 동안의 위치 변화의 근삿값입니다 그리고 또다른 직사각형은 다음 Δt동안의 위치 변화의 근삿값입니다 감이 오죠 바로 이 옆은 다음 Δt 동안의 위치 변화의 근삿값입니다 그러니 a와 b사이의 위치 변화를 계산하고 싶으면 단지 리만 합을 합시다 근삿값을 구하고 싶다면요 i=1 부터 i=n 까지 합을 구하고 싶습니다 v의 왼쪽 리만 합을 할텐데요 중점을 이용해도 괜찮습니다 사다리꼴을 이용할 수도 오른쪽 리만 합을 할 수도 있지만 왼쪽 리만 합을 할 텐데요 왜냐하면 그것이 여기 v(ti-1)에 그린 것이기 때문이죠 이건 t0이자 a입니다 이 첫 번째 직사각형의 넓이는 t0의 값을 이용하여 구할 것이고 이 두 번째 직사각형의 넓이는 t1의 값을 이용할 것입니다 이것에 관한 동영상은 이미 많이 올렸습니다 그리고 각각 시간의 변화를 곱하겠습니다 이건 근삿값이네요 Δt는 (b-a)/n n은 간격의 수입니다 리만 합과 관련된 많은 동영상에서 다루었다시피 말입니다 본론으로 넘어가서, 이건 두 가지의 근삿값입니다 이건 위치 변화의 근삿값이기도 하고 또한 넓이의 근삿값이기도 합니다 여기에 위치 변화의 근삿값을 구할 것입니다 위치 변화의 근삿값을 구할 것입니다 이건 또한 곡선 아래의 넓이 근삿값 입니다 이건 또한 곡선 아래의 넓이 근삿값 입니다 이 곡선 아래 넓이를 계산하는 데에 잘 이해가 되기를 바랍니다 사실 사다리꼴이니 어렵지 않지만 하지만 만약에 만약에 함수가 괴상하게 생겼다면 그때도 여전히, 속도 함수의 곡선 아래 넓이를 계산하려고 할 때 위치 변화를 생각할 것입니다 이 두가지를 말이에요 우린 이미 알고 있어요 곡선 아래 정확한 넓이를 계산하려면 무엇을 해야 하는지 아니면 정확한 위치 변화라고도 할 수 있고요 아주 많은 직사각형을 가지고 있죠 직사각형 개수를 무한대로 갈 때 극한을 취하면 됩니다 n을 무한대로 갈 때의 극한을 취했습니다 n이 무한으로 커지면 Δt는 (b-a)/n 이기 때문에 Δt는 무한정 작아집니다 이것이 dt가 된다고 생각해도 좋습니다 이미 이런 표기법이 있기도 하고요 이건 리만 적분을 받아들이는 한 방법입니다 그냥 왼쪽 리만 합을 이용하겠습니다 다시 말하지만, 다른 방법도 괜찮습니다 오른쪽 리만 합처럼요 좀더 일반적인 리만합을 써도 괜찮지만 이것도 괜찮습니다 이건 분명 a부터 b까지 ∫v(t)dt 입니다 이건 표현의 차이일 뿐입니다, 보세요 속도에 대한 곡선의 아래 넓이 즉 a와 b사이의 위치 차를 구하고 싶다면 이런 방법으로 나타낼 수 있습니다 n을 무한대로 보냄으로서 리만 합의 극한을 취합니다 아니면 a부터 b까지 ∫v(t)dt를 계산함으로서요 그래서 뭘 알아낼 수 있는거죠? 이것이 시간 a와b사이의 '정확한' 위치 차를 뜻한다는 것이 기억 나나요? 하지만 우린 이 a와 b사의 위치 차를 이미 알고 있습니다 바로 여기에 있죠 흥미롭군요 이제 우린 이 정적분 값을 확인할 방법을 얻었습니다 개념상으로, 이건 a와 b사이의 위치 차이입니다 하지만 a와 b사이의 위치 차이는 이미 알아냈습니다 여기에 쓰겠습니다 a부터 b까지의 ∫v(t)dt는 s(b)-s(a)입니다 v(t)는 s(t)의 도함수이니 s(t)가 v(t)의 역도함수라고 할 수 있습니다- 이에 따라, 제가 관례적으로 쓰진 않았지만 속도, 위치를 사용하였습니다 이건 미적분학의 제 2 기본정리입니다 이건 미적분학의 제 2 기본정리입니다 첫번째가 뭔지 궁금할텐데 그건 다른 동영상에서 다루도록 하죠 하지만 이것은 곡선 아래 면적 구하거나 정적분 확인하는 데 아주 유용한 방법입니다 미적분학 제 2 기본정리는 첫 번째와 밀접한 관련이 있습니다 지금 설명하진 않을 테지만요 이게 왜 중요할까요? 미적분학 책에서 자주 보았을 더 일반적인 표기법을 써보겠습니다 이건 곡선 아래 넓이 즉 x=a와 x=b 사이 넓이 f(x)그래프의 넓이를 구할 때 이게 우리가 간격 사이의 곡선 아래 넓이를 나타내는 방법이죠 더 확실히 하기 위해서 일반적인 용어와 함께 그림을 그리겠습니다 이건 f(x)이고요 a와 b사이에서의 곡선 아래 넓이에 관심이 있습니다 이 부분 넓이를 구하고 싶다면 f의 역도함수를 구하여 계산할 수 있겠죠 F(x)를 f의 역도함수라 합시다 역도함수에 상수를 붙일 수 있으니 역도함수 중 한가지라고도 할 수 있죠 그리고 양 끝의 역도함수 값을 구해서 그 차를 구합니다 종점을 먼저 살펴보죠 시점의 역도함수 값을 종점의 역도함수 값에서 빼야 합니다 따라서 F(b) - F(a)입니다 즉, 곡선 아래쪽 넓이를 구하고 싶다면 곡선의 역도함수를 구하세요 그리고 종점의 값에서 시점의 값을 빼세요 이해가 잘 되었길 바라며 다음 몇개의 동영상에서 실제로 적용해 보도록 하겠습니다