1/x의 부정적분

오늘 동영상에서는 오늘 동영상에서는 1/x의 역도함수에 대해 생각해보고자 합니다 다르게 표현하자면 x의 -1제곱의 역도함수에 대해 생각해보고자 합니다 이미 알고 있듯이 1/x에 멱함수의 부정적분을 구하는 방법을 어떻게든 적용하려고 한다면 우리는 정의되지 않은 무언가를 얻게 됩니다 말도 되지 않는 x의 0제곱 분의 0을 얻게 되는 것이죠 이 상황에서 학생들이 흔히 할 법한 생각은 이런 것입니다 우리가 도함수에 대해 처음 배울 때 우리가 도함수에 대해 처음 배울 때 ln x의 도함수는 1/x라는 사실을 배웠습니다 그렇다면 이것의 역도함수를 ln x+C 라고하면 되지 않을까요? 틀리지는 않았습니다 문제는 이 경우가 모든 상황에 적용되지는 않는다는 것입니다 모든 영역에 적용되지 않는다는 뜻은 우리가 역도함수를 구하고자 하는 함수의 정의역은 0을 제외한 모든 실수라는 것입니다 그래서 이 함수에서는 x가 0만 아니면 되는데 이 역도함수의 정의역은 양수만이라는 것입니다 즉, 이 표현에서 x는 0보다 커야 합니다 하지만 구하고자 하는 함수와 같은 정의역을 갖는 역도함수를 구하는 것이 좋겠죠 따라서 원래의 함수가 정의된 모든 곳에서 정의되는 역도함수를 찾고 싶습니다 x가 0이 아닌 모든 곳에서 말입니다 그렇다면 이것을 조금 바꿔서 음의 값에서도 정의되도록 할 수는 없을까요? ln |x|에 대해 생각해보는 것도 하나의 가능성입니다 생각해보는 것도 하나의 가능성입니다 아직 이것의 역도함수가 무엇이 될지 모르니 물음표를 남겨놓도록 하겠습니다 여기서 엄밀하게 증명하지는 않겠지만 직관적인 설명을 해보겠습니다 우선 ln x를 그려봅시다 저는 미리 해두었습니다 ln x는 대략적으로 저렇게 생겼습니다 그렇다면 ln|x|는 어떻게 생겼을까요? 양의 x에 대해서는 이렇게 생겼을 것입니다 양의 x는 절댓값을 취해도 기존의 값과 같으니까요 그래서 양의 x에 대해서는 절댓값이 없을 때와 같은데 ln |x|는 음의 x에서도 정의가 됩니다 -1에 대해 생각해보면 절댓값은 1이 되고 ln 1이므로, 이 값을 가집니다 음의 방향에서 점점 더 0에 가까워질수록 절댓값만 취하면 되니까 ln x를 가리키는 이 곡선과 비슷하지만 왼쪽의 곡선은 ln |x|이므로 y축을 중심으로 대칭이 됩니다 즉, 그래프는 이렇게 생겼습니다 즉, 그래프는 이렇게 생겼습니다 이 함수의 좋은 점은 x가 0이 아닌 모든 값에서 정의된다는 것입니다 최대한 대칭적으로 그렸습니다 이 분홍색 부분과 오른쪽 부분을 합치면 y=ln |x|의 그래프가 됩니다 그럼 y=ln |x|의 도함수에 대해 생각해볼까요? 우리는 이미 ln x의 도함수에 대해 알고 있습니다 양의 값을 갖는 x에 대해서 말입니다 한번 써보겠습니다 x가 0보다 큰 경우 ln |x|는 ln x와 같습니다 이것도 써보겠습니다 ln |x|는 ln x와 같습니다 또한 0보다 큰 x에 대해 두 함수가 같다는 것을 통해 ln |x|의 도함수가 ln x의 도함수와 같다는 것을 알 수 있습니다 알 수 있습니다 즉, ln|x|는 0보다 큰 x에 대해 1/x를 도함수로 갖습니다 그려보도록 하겠습니다 초록색으로 그리겠습니다 도함수는 1/x입니다 1/x는 예전에 본 적이 있듯이 이렇게 생겼습니다 최선을 다해 그려보도록 하겠습니다 수직 점근선과 수평 점근선을 모두 가지기 때문에 이런 식으로 생겼습니다 이런 식으로 생겼습니다 그래서 이것은 x가 0보다 클 때 1/x입니다 여러분들도 쉽게 보실 수 있다시피, 여기의 기울기 즉, 접선의 기울기가 1이므로 도함수의 값을 살펴보면 도함수의 값이 1이라는 것을 볼 수 있습니다 0에 가까워질수록 매우 가파른 양의 기울기를 가지기 때문에 도함수도 매우 큰 값을 가지는 것을 볼 수 있습니다 0에서 멀어질수록 여전히 가파르지만 1에 도달할 때까지 점점 완만해진다는 것을 볼 수 있습니다 그리고 점점 더 완만해지지만 완전히 납작해지지는 않습니다 이 사실을 도함수에서도 확인할 수 있습니다 그렇다면 이쪽에서 ln|x|는 무얼 하고 있을까요? 이 쪽에서는 기울기가 0에 가깝습니다 대칭적입니다 왼쪽의 기울기는 오른쪽의 기울기의 음수 값입니다 이렇게 하면 더 명확하게 볼 수 있습니다 이쪽에서의 기울기가 무엇이든지 반대편의 대칭점에서의 기울기의 음수 값을 갖습니다 그래서 반대쪽에서 기울기가 이렇다면 이쪽에서는 그 음수 값을 가집니다 즉 이 값을 가집니다 그리고 기울기는 점점 더 작아질 것입니다 여기서 기울기가 +1이므로 여기서는 -1입니다 즉, 기울기가 -1입니다 그리고 점점 더 0에 가까워질수록 점점 더 작아지게 됩니다 즉 0보다 더 작은 x에 대해 ln |x|의 도함수는 이렇게 생겼습니다 이렇게 생겼습니다 그리고 완벽하게 엄밀한 증명은 아니지만 0이 아닌 모든 x에 대해 ln |x|의 도함수는 1/x임을 확인할 수 있습니다 그래서 ln |x|의 도함수는 0이 아닌 모든 x에 대해 1/x임을 시각화하여 확인하였습니다 확인하였습니다 그리고 ln |x|는 이전보다 적절한 1/x의 역도함수입니다 둘은 완벽하게 같은 정의역을 갖습니다 비록 도함수의 정의를 이용하며 엄밀한 정의를 하지는 않았지만 시각적으로 1/x의 역도함수에 대해 설명했습니다 1/x의 역도함수에 대해 설명했습니다 그리고 1/x의 역도함수는 ln |x|+C라고 할 수 있습니다 이제 우리는 역도함수를 구하고자 하는 함수와 같은 정의역을 갖는 역도함수를 구할 수 있게 되었습니다 커넥트 번역 봉사단 | 김시은