등비수열이란?

이 비디오에서 저는 등비수열의 개념을 소개해 드리고자 합니다 이 주제에 대해 많은 심화 동영상이 더 있지만 어떤 이가 당신에게 등비수열을 알려주어 이해하려 할 때 시작하기 좋은 곳입니다 자, 좋은 출발점은, "등비수열이 무엇인가?" 입니다 그리고 수열은, 수의 진행이라고 생각할 수 있습니다 예를 들자면, 이것은 등비수열의 예는 아닌데, 제가 1,2,3,4,5를 말했다면 이것은 수의 수열입니다 이것은 등비수열은 아니지만, 수열입니다 등비수열은, 연이은 숫자들이 그 전 수의 일정한 곱인 수의 특별한 진행, 즉 특별한 수열입니다 자 이게 무슨 말인지 설명하겠습니다 제 첫번째 숫자가 2이고, 그 다음에는 2에 3을 곱한다고 합시다 그렇게 3을 곱하면, 6이 나옵니다 그 다음, 6에 3을 곱하면, 18이 나옵니다 다음에 또 18에 3을 곱하면, 54을 갖게 됩니다 그렇게 계속 합니다 즉 저는 계속 3을 곱합니다 표기를 해보자면 이것은 제 첫째 항 입니다 이것을 제 수열의 제1항이라고 부릅시다 매 번 저는 항에 일정한 수를 곱하는데 이것은 대게 공비라고 불립니다 그래서 이 상황에서는, 제1항이 2이고 제 공비는 3입니다 그러니까 만약 어떤 사람이 당신에게 어떤 등비수열에서 첫째 항은 90이고 공비가 -1/3이라고 말한다면 수열의 제 1항은 90이고 제 2항은 -1/3 x 90 입니다 즉 -30입니다. 그렇죠? 1/3 곱하기 90은 30이고, 거기에 - 를 붙입니다 그러면 다음 수는 이 숫자 곱하기 1/3 일 것이고 그러니까 1/3 곱하기 이것 1/3 곱하기 30은 10 - 는 지워지고, 당신은 양수 10을 갖게 됩니다 그러면 다음 수는 10 곱하기 -1/3 또는 음수 1/3이 될 것이고 그러면 다음 수는 - 10/3 곱하기 -1/3이므로, +10/3이 될 것입니다 그리고 그냥 계속 이 수열을 이어나가면 됩니다 이것이, 다른 이들이 등비수열이라 할때 뜻하는 것입니다 저는 여기에 조그마한 구분을 짓고 싶습니다 항들이 같은 맥락에 매우 자주 사용되서 저를 항상 혼란스럽게 하곤 했습니다 이것들이 수열입니다 이것들은 수의 진행입니다 2, 6, 18, 90, -30, 10 -10/3 죄송합니다. +10/9 입니다. 그렇죠? -1/3 곱하기 -10/3를 하면, - 가 지워집니다 네 10/9입니다 여기서 실수를 하고 싶진 않습니다 이것들은 수열입니다 여러분은 급수 라는 단어를 볼 수도 있습니다 그리고 여러분은 기하 급수도 봤을 것입니다 세상에서 가장 관습적으로 쓰이는 '연속(급수)'는 수열의 합을 뜻합니다 예를 들어, 이것은 기하급수입니다 기하급수는 90 + (-30) + 10 + (-10/3) +(10/9) 이 되겠습니다 이것을 일반적인 시각으로 보자면 급수는 수열의 합 입니다 제가 처음 이것들에 대해서 배울때 많이 혼란스러웠기 때문에 명확하게 하고 싶었습니다 아무튼, 기하급수의 표기방법으로 돌아와, 이들 중 하나를 다루는 문제를 풀어보도록 합시다 Anne이 물 위 다리에서 번지 점핑을 한다고 합니다 시작하는 점프에서는, 줄이 120 feet 만큼 늘어납니다 첫 번째 점프인, 제1항에서, 줄은 120feet 만큼 늘어납니다 우리는 이것을 이렇게 쓸 수 있습니다 점프, 그 다음엔 얼마나 줄이 늘어나는지 씁시다 맨 처음 점프, 점프 1에서는 줄이 120feet 늘어납니다 그 다음 튕길때는 원래 점프의 60%로 늘어나고, 각 추가적인 튕김은, 줄을 그 전의 60%로 늘린다고 합니다 그러니까 이 수열에서 연속되는 각 항들의 공비는 '그 전 항'의 60%가 될 것입니다 혹은 0.6 곱하기 '그 전 항'이 될것입니다 그래서 두번 째 점프에서는 이것의 60%, 즉 0.6 x 120으로 늘려질 것입니다 즉 무엇이죠? 72입니다 그러면 세 번째 점프에서는, 72의 0.6 즉 0.6 x 72 만큼 늘어날 것입니다 따라서 0.6 x 0.6 x 120 이 됩니다 네 번째 점프에서 우리는 0.6 x 0.6 x 0.6 x 120 이 된다는 것을 알 수 있습니다 세 번째 점프의 60%, 즉 매번 선행 점프의 60%가 되는 것입니다 따라서 우리가 방금 정의한 것을 바탕으로 일반식을 만들자면 n번째 점프는 얼만큼 늘어날까요? 우리는 120 x 0.6 에 무엇? n-1을 제곱했습니다 어떻게 구했을까요? 여기에 조금 더 깔끔하게 적어보겠습니다 이것은 0.6이고, 아니 120을 먼저 쓰겠습니다 이것은 120 x (0.6)^(n-1) 입니다 어떻게 구했을까요? 첫 번째 점프를 120 feet 늘어났다고 정의하는 것입니다 따라서 여기에 n이 1이라고 하면, 1-1, 즉 0을 갖게 되는 것입니다 0.6의 0제곱이므로 1을 갖게 됩니다 이것은 첫 번째 점프에서 일어난 것과 같습니다 두 번째 점프에서는, 2-1을 대입하는데 이것은 1제곱이 되므로 정확히 0.6을 갖게 됩니다 n이 2일때, 0.6을 갖게 되고 n이 3일때, 0.6의 제곱이 되므로 n-1이 된다는 것을 발견했습니다 n이 4일때, 0.6의 세제곱을 갖게됩니다 따라서 n이 무엇이던, 0.6의 n-1 제곱을 취하게 되고 그 값에 120을 곱하게 됩니다 또 하나의 물음은, 12번째 튕김에서 줄은 얼마나 늘어날까? 입니다 여기서는 계산기를 사용할 것입니다 이것을 조금 고쳐보도록 합시다 틀린 것은 아니지만, 튕김에 대해 말하고 있기 때문에 점프를 0번째 튕김으로 표현할 수 있습니다 바꿔보도록 합시다 틀리지는 않지만, 이 방향으로 가는 것이 맞다고 생각합니다 따라서 맨 처음의 늘임을 0번째 튕김으로 생각할 수 있습니다 점프로 나열하는 것 대신, 튕김으로 나열하도록 합시다 첫 번째 늘임이 0번째 튕김이므로 이것은 첫번째 튕김 두번째 튕김, 그리고 세번째 튕김이 되겠습니다 그러면 식이 훨씬 간단해 집니다 늘임을 n번째 튕김이라고 두면 식은 (0.6)^(n) x 120이 됩니다 초기의 늘어난 정도인 0번째 튕김에서는 0.6의 0제곱, 즉 1 x 120 을 갖게 됩니다 첫번째 튕김에서는 0.6의 1제곱, 즉 0.6을 갖게 됩니다 0.6 곱하기 그 전에 늘어난 정도 또는 그 전 튕김을 곱해줍니다 따라서 이것은 튕김에 대한 식으로 나오므로 질문자가 원하는 방향인것 같습니다 그러면 12번째 튕김은 무엇입니까? 이 규칙을 이용하면 됩니다 12번째 튕김을 구할때 계산기를 꺼내도록 합시다 120 x 0.6^12 을 할 것입니다 다행히 지수들은 우선적으로 곱해지기 때문에 연산순서에는 맞을 것입니다 그냥 0.6의 12제곱을 하겠습니다 이것은 0.26 feet가 됩니다 따라서 12번째 튕김 이후 그녀는 거의 움직이지 않을 것입니다 그녀는 12번째 튕김에서 3 inch 움직일 것입니다 이 동영상이 도움이 되었으면 좋겠습니다 약간 장황한 부분들은 사과를 드리지만, 사실 어떤 점에서는 이것이 유익하다고 생각합니다 항상 n이 결과와 잘 맞는지 확인해야 하기 때문입니다 첫 번째 점프를 설명할때 저는 자, 이것은 1이고 그 다음엔 0.6의 0제곱을 취하게 되므로 n-1 을 하게 되었다고 말했습니다 그런데 다시 이것들을 튕김으로 표현하여 나열했을 때는 이것이 0번째 튕김이었습니다 0.6의 0제곱이 된다는 것이 말이 됩니다 이것은 첫번째 튕김이므로 0.6의 1제곱이 될것입니다 두번째 튕김에는, 0.6의 제곱이 됩니다 이것은 식을 훨씬 간단하게 만들었습니다 아무튼, 흥미롭게 느꼈길 바랍니다.