예제: 그래프의 기울기

그래프의 기울기를 구해봅시다 잠깐 복습을 하고 넘어가자면 기울기라는 것은 직선이 얼마나 가파른지를 보여주는 겁니다 그리고 간단하게 말해 기울기는 x축의 변화량 분의 y축 변화량입니다 그리고 이 직선에 있어서 기울기는 변하지 않습니다 가끔씩은 이렇게 쓰여있는 경우도 있습니다 그리고 가끔 여러분들은 이렇게 생긴 삼각형을 보실 수 있으실건데요 그것은 변화량이라는 겁니다 (델타) y변화량, x변화량 그냥 x축의 변화량 분의 y축의 변화량을 다르게 표현한 겁니다 기울기를 구해 봅시다 먼저 그럴 듯 해보이는 점에서 시작해보겠습니다 이 점에서 시작해 보겠습니다 그리고 다른 점까지 움직여 보겠습니다 아무 점이나 골라도 괜찮습니다 방금 예로 든 것들은 보기 편해서 고른 것입니다 그래서 기울기는 얼마인가? 먼저 x축의 변화량을 봅시다 이 점에서 저 점까지의 x의 변화량은 얼마인가요? x의 변화량은 무엇과 같나요? 글쎄요, 한번 그냥 세어 봅시다 이게 한번, 두번, 세번 갔으니까 x의 변화량은 3이네요 x 값만 봐도 알 수 있습니다 -3에서 0까지니까 3이 올랐네요 그러므로 x의 변화량은 3입니다 한 번 써 보겠습니다 x의 변화량 델타 x는 3이다 그러면 y의 변화량은 과연 무엇일까요? 네, y는 -3에서 -1까지 올라가니까 간단하게 말해 2만큼 올랐습니다 그러므로 y의 변화량은 2입니다 따라서 결국 x와 y의 변화량은 무엇일까요? x의 변화량은 3이였고 y의 변화량은 2였어요 그러므로 이게 바로 기울기입니다 어느 두 점을 골라도 결과는 같습니다 확인해 보겠습니다 이 두 점이 아니라 다른 두 점을 골라보겠습니다 그래도 답은 같다는 것을 보여드리겠습니다 이 점을 시작점으로 하고 저 점까지 이동한다고 하면 먼저 y의 변화량부터 생각해 봅시다 얼마나 내려갔죠? 1, 2, 3, 4, 그러므로 y의 변화량은 -4입니다 1에서 -3까지 갔으니까 -4 이게 y의 변화량입니다 y의 변화량은 -4에요 그러면 x의 변화량은요? 이 x값에서 시작해서 다른 점까지 갔습니다 왼쪽으로 갔으니까 x의 변화량이 음수입니다 1, 2, 3, 4, 5, 6 만큼 내려갔으니까 x의 변화량은 -6이겠네요 3에서 시작하여 -3까지 내려갔습니다 -6이 감소한 것이죠 왼쪽으로 6, 혹은 -6 만큼 이동했습니다 그러므로 y와 x의 기울기는 무엇일까요? 이번에 구한 기울기는 -6분의 -4와 같습니다 -는 사라지고 6분의 4는 뭐와 같죠? 3분의 2와 같습니다 시작점에서 4만큼 내려갔고 뒤로 6만큼 갔습니다 -6분의 -4 만약 여기가 시작점이면 4만큼 올라가고 y의 변화량은 4이고 x의 변화량은 6일 겁니다 어떤 방법으로 해도 기울기의 값은 6분의 4 즉 3분의 2가 됩니다 어느 점을 고르더라도 같은 방법으로 생각하고 계산하면 기울기는 같습니다