e의 극한

이전 동영상에서 이자를 더해가는 간단한 예제를 보았습니다 이를 (1+1/n)^n으로 표현했습니다 예제에서 대출업자가 1을 의미하는 100% 이자를 붙였고 이자를 1년에 한번만 붙인다면 1년에 100%이므로 n은 1이 됩니다 그러면 (1+100%/1)^1이 되고 갚아야 할 돈은 처음 돈의 2배가 됩니다 n이 2가 되면 (1+1/2)^2로 2.25배가 되고 이자의 절반만, 즉 100%/2를 두번 더하게 됩니다 계속 n을 늘려나가면 놀라운 결과가 나타납니다 이 결과를 계산기를 이용해서 살펴봅시다 n을 늘려갈 때 일어나는 일을 알아보려합니다 전 영상에서는 n=365까지 확인했을 때 어떤 신비한 수에 근접하는 것처럼 보였습니다 이제 n을 더 증가시켜봅시다 정말 큰 수인 100,0000을 이용해봅시다 1+1/100,0000 백만의 백만제곱을 생각하면 (1+1/100,0000)^100,0000 수를 입력하고 결과를 보기 전에 흥미로운 사실이 있습니다 미리 살펴보자면 괄호 안의 수는 n이 커질 수록 1은 아니지만 1에 근접해갑니다 여기서는 1과 백만분의 1이 될 겁니다 1에 매우 가깝지만 정확히 1은 아닌 이 수를 백만제곱 시킬 것입니다 일반적인 수를 백만제곱 시킨다면 무한히 증가해 매우 큰 수가 될 것입니다 하지만 1은 백만제곱 시키더라도 1밖에 되지 않습니다 1에 가까운 수라면 무한히 증가하지는 않을 것입니다 실제로 계산해보면 2.71828 정도가 됩니다 더 n을 증가시켜서 이번에는 지수를 활용하여 10^7을 대입하겠습니다 (1+1/10^7)^10^7 이번에도 결과는 약 2.718281692가 됩니다 점점 n을 키워서 방금 넣었던 10^7 대신 10^8을 대입하겠습니다 (1+1/10^8)^10^8을 대입하면 (1+1/10^8)^10^8을 대입하면 이번에는 약 2.71828181487 정도가 되었습니다 이 수가 매우 빠르게 특정한 수에 근접하는 것이 보입니다 계산기에서 찾을 수 있는 e라는 수에 가까워집니다 10^7을 대입하면서 이미 소수점 아래 7자리까지 정확하게 구했습니다 즉 e에 매우 가까운 수입니다 다른 방식으로 이를 표현하자면 n이 무한히 커질 때 극한을 취하더라도 값은 무한히 커지지 않습니다 대신에 신비의 수 e에 가까워지는 것을 볼 수 있습니다 이 수를 e라고 부르기로 합시다 계산기의 값과 비교해보십시오 pi를 연상시키는 이 수는 2.7182818의 값을 가지며 그 밑으로도 쭉 이어지지만 절대로 반복되지 않습니다 즉 e는 순환하지 않는 무한소수입니다 즉 e는 순환하지 않는 무한소수입니다 마치 원주율인 pi와 같은 수입니다 e 역시 우주에서 볼 수 있는 이상한 수들 중 하나입니다 칸 아카데미의 다른 영상들에서 이것이 얼마나 흥미로운지 탐구했습니다 같이 살펴봅시다 극한을 취하게 되면 1에 어떤 수 분의 1을 더하게 되고, 그 수의 거듭제곱을 취할 때 어떤 수를 매우 매우 크게 만들면 이 수에 가까워집니다 이 수의 더 신비한 점은 보시다시피 이자를 다 더했을 때 나오는 수 말입니다 이 수와 π 그리고 허수 - 허수 - 제곱했을 때 -1이 나오게 하는 수 이 수와 π 그리고 허수가 신비롭고 경이로운 방식으로 합쳐져 새로운 마술을 부리게 됩니다 다른 영상에서 살펴보실 수 있습니다 지금은 e에 대해서만 생각해 보도록 합시다 여기에서 떠올릴 수 있는 것은 이전 예제에서 1달러를 빌리고 연간 100%의 이자를 붙일 때 n=1이면 1번만 이자를 붙이고 n=2이면 2분기에 걸쳐 이자를 총 2번 더하게 됩니다 n=3이면, 3분기 동안 더합니다 n이 무한대에 가까워질 때 다시 말해 이자가 몇 조 분의 1초마다 더해진다면 매우 적은 양이 더해지겠지만 점점 무한한 횟수에 근접하게 될 것이고 결국에는 이 수에 가까워지게 됩니다 바로 e 말입니다