기하변수란?

여기 두개의 다른 확률변수가 있습니다 제가 하고싶은 것은 이 둘이 어떤 종류의 확률변수인지 알아보는 것입니다 이 첫 번째 확률변수 X는 주사위를 12번 굴렸을 때 6이 나오는 횟수와 같습니다 이것은 이항확률변수에 가까워 보이네요 사실 저는 이것이 이항확률변수라고 확신하고 있습니다 체크리스트를 확인해 보면 되겠습니다 각 시행의 결과는 성공 혹은 실패입니다 시행 결과는 성공 혹은 실패 어느 쪽이든 가능합니다 각 시행의 결과는 서로 독립입니다 세 번째 시행에서 6이 나온 것과 첫 번째 혹은 두 번째 시행에서 6이 나오는 것은 독립입니다 그래서 결과는, 써보겠습니다 빠르게 써보겠습니다 시행 결과는 독립입니다 이것은 매우 중요한 조건이죠? 보면 시행 횟수가 정해져 있습니다 정해진 시행 횟수 이 경우 12번의 시행이 있죠 그리고 마지막으로 각 시행에서 같은 확률을 가집니다 같은 성공 확률 각 시행에서의 성공 확률이죠 그래서 이항확률변수가 되기 위한 모든 조건을 만족합니다 지금까지 한 것들은 다른 영상에서 이야기 했던 것의 약간의 복습이었습니다 하지만 이 핑크색으로 된 것은 어떨까요? 확률변수 Y입니다 주사위를 6이 나올 때가지 굴렸을 때 그 횟수로 정의됩니다 따라서 이것은 조금 다르게 다가옵니다 하지만 정말 무엇이 다른 것인지 알아봅시다 각 시행에서 명확한 성공 혹은 실패가 있어야 한다는 조건은 맞나요? 맞죠? 계속 주사위를 굴립니다 따라서 한 번 굴리는 것은 시행을 의미합니다 그리고 성공은 6이 나왔을 때 실패는 6이 나오지 않았을 때입니다 각 시행의 결과는 성공 혹은 실패로 분류될 수 있습니다 따라서 여기에 체크 표시를 하겠습니다 이것은 첫 번째 조건을 만족합니다 각 시행의 결과는 독립인가요? 첫 번째 굴렸을 때 6이 나오거나 두 번째 굴렸을 때 혹은 세 번째 굴렸을 때 혹은 네 번째, 혹은 세 번째 확률은 이전에 6이 나왔든지 안나왔든지 상관없이 종속적이지 않습니다 따라서 독립성을 가지고 있습니다 그리고 각 시행에서 성공 확률은 같은 값을 가집니다 모든 경우에 1/6이라는 확률로 6이 나올 수 있고 이는 일정하다고 할 수 있습니다 세 번째 것은 한 가지 이유로 넘어가겠습니다 그 이유는 정해진 시행 횟수가 없기 때문입니다 여기서 6이 나올 때까지 50번을 굴릴 수 있습니다 50번을 굴려야할 때의 확률은 매우 작습니다 하지만 어쩌면 500번을 굴려야 6이 나올 수도 있습니다 사실 Y의 최솟값이 얼마일지 생각해 보세요 그리고 Y의 최댓값은 얼마일지도요 이 확률변수가 가질 수 있는 최솟값은 저는 이걸 Min Y로 부르겠는데 바로 최소한 한 번은 굴려야 하죠 이것이 최솟값입니다 하지만 Y의 최댓값은 어떨까요? 생각해 보세요 영상을 멈췄다면 이미 생각했을 것이라 생각됩니다 최댓값은 없습니다 10억이라고 이야기할 수 없습니다 왜냐하면 10억 1번을 굴릴 확률도 있기 때문입니다 정말 매우 작은 확률이지만 어쨌든 확률이 있으니까요 구글 플렉스만큼 굴릴 수 있습니다 따라서 이것이 어떻게 될지 상상할 수 있겠죠? 이런 종류의 확률분포는 이항확률분포의 조건을 다수 만족하긴 합니다 각 시행은 명확한 성공과 실패의 결과가 있어야 하고 각 시행에서 성공 확률은 일정해야 하며 시행 결과는 각각 독립이어야 합니다 하지만 시행 횟수가 정해져 있지 않습니다 사실 이것은 상황의 문제입니다 성공을 위해서는 얼마나 많은 시행 횟수가 필요할 것인가의 문제입니다 아마도 이것이 이런 종류의 확률변수를 바라보는 일반적인 방법이겠죠 성공을 위해 얼마나 많은 시행이 필요한가요? 하지만 이항확률변수는 얼마나 많은 시행 혹은 얼마나 많은 성공들 유한한 시행 횟수에서 얼마나 많은 성공을 했는지가 문제입니다 만약 일반적인 형태로 본다면 이것은 이 조건들을 만족하고 이항확률변수라고 생각할 수 있습니다 하지만 이 조건들 중에서 명백한 성공 혹은 실패의 결과 독립 시행, 일정한 확률은 만족하지만 정해진 횟수의 시행에서의 성공에 대해선 이야기할 수 없습니다 성공하기까지 얼만큼의 시행이 필요한지 이야기하고 있으니까요 이런 종류의 확률변수는 기하확률변수라고 부릅니다 그리고 이후의 영상에서 이름에 왜 기하가 들어가는지 알게 될 것입니다 다양한 결과의 확률을 가지는 수학은 기하급수적 증가와 많이 닮았습니다 혹은 등비수열과 등비급수와 많이 닮았죠 이것들은 다른 종류의 수학에서 배우게 될 것들입니다 혹시나 잊을까 이야기 하는데 이항확률변수로 불리는 이유는 서로 다른 결과의 확률에 대해서 생각할 때 이것들을 순열조합에서는 이항계수라고 부르면서 사용할 것이고 파스칼의 삼각형이나 지수가 많이 증가하는 이항식에서 많이 보게 될 것입니다 이것이 저런 단어들의 뜻입니다 하지만 앞으로 몇 개의 영상에서는 그 두 가지의 차이를 아는 것이 중요합니다 그러고 나서 기하확률변수를 어떻게 다룰지 생각하기 시작할 것입니다