확률밀도함수

저번 동영상에서는 확률변수에서 시작해 확률변수의 두 종류를 알아보았습니다 이산확률변수는 유한한 수를 가지며 보통 정수인 경향이 있지만 항상 정수일 필요는 없습니다 이산확률변수가 유한하다는 것은 무한한 수의 변수를 가질 수 없다는 것입니다 그리고 다음은 연속확률변수입니다 무한히 많은 수를 가질 수 있죠 이에 대한 예로 확률변수 X가 이걸 약간 바꿔 봅시다 X 말고 다른 것도 될 수 있음을 보이기 위해서요 확률변수 Y가 있다고 합시다 보통 대문자로 쓰는 경우가 많습니다 이것은 정확한 내일의 강수량입니다 제가 캘리포니아 북쪽에 있기 때문에 비라고 했는데 사실 지금도 비가 많이 내리고 있어요 비가 부족했어서 괜찮습니다 가뭄이 들었어서 좋은 일입니다 내일의 정확한 강수량 실제 확률분포함수는 모르지만 그냥 하나 그려서 해석해 봅시다 그냥 하나 그려서 해석해 봅시다 연속확률변수를 어떻게 생각할지에 대해 생각해 볼 수 있을 것입니다 그러면 확률분포를 그려보겠습니다 확률밀도함수라고도 합니다 이렇게 그리고요 이렇게 해 보죠 이런 식으로 생겼습니다 이런 식으로 생겼습니다 높이가 얼마인지는 모르고 x축은 비의 양입니다 여기는 0인치, 여기는 1인치 여기는 2인치 여기는 3인치, 4인치 그리고 이것은 높이입니다 잘 모르겠지만 이 정점을 0.5라고 합시다 잘 모르겠지만 이 정점을 0.5라고 합시다 잘 모르겠지만 이 정점을 0.5라고 합시다 이렇게 생각해 볼 수 있습니다 확률변수 Y가 정확히 2인치일 확률을 이것을 보고 어떻게 알 수 있을까요? 확률변수 Y가 정확히 2인치일 확률을 이것을 보고 어떻게 알 수 있을까요? 그럴 확률은 얼마일까요? 이산확률변수의 확률분포함수를 생각해보면 이산확률변수의 확률분포함수를 생각해보면 이산확률변수의 확률분포함수를 생각해보면 2인치는 여기 있고 이리로 올라가면 대략 0.5 같다고 할 것입니다 이 확률이 0.5냐고 물어본다면 아니라고 하겠습니다 이것을 어떻게 시각적으로 해석할지 생각하기 전에 논리적으로 생각해 봅시다 내일 비가 정확히 2인치 내릴 확률은 얼마일까요? 내일 비가 정확히 2인치 내릴 확률은 얼마일까요? 2.01인치도 아니고 1.99인치도 아닙니다 1.99999인치도 아니고, 2.000001인치도 아닙니다 정확하게 비가 2인치내려야 합니다 즉, 2인치보다 단 하나의 물 분자라도 많아서는 안됩니다 즉, 2인치보다 단 하나의 물 분자라도 많아서는 안됩니다 그리고 2인치보다 하나의 물 분자라도 모자라서는 안됩니다 그러면 거의 0에 가깝습니다 그렇죠? 잘 와닿지 않을 수 있는데 사람들은 어젯밤에 2인치의 비가 왔다고 말하기 때문입니다 하지만 생각해보세요 이건 정확히 2인치입니다 보통 2.01인치이면 사람들은 2라고 하겠지만 여기서는 아닙니다 이건 세지 않습니다 이건 2인치가 될 수 없습니다 우리는 정확하게 2를 원하죠 1.99는 세지 않습니다 그것이 정확히 2인치인지 측정할 수 있는 도구조차도 없습니다 그것이 정확히 2인치인지 측정할 수 있는 도구조차도 없습니다 어떤 자도 길이가 정확하게 2인치라고 말할 수 없습니다 제조과정에서 추가적인 원자가 여기저기에 붙겠죠 무한한 소수점까지 정확한 측정값을 얻는 확률은 무한한 소수점까지 정확한 측정값을 얻는 확률은 사실상 0입니다 연속확률변수는 이렇게 생각해야 합니다 Y가 거의 2일 확률은 얼마이냐고요 Y-2의 절대값이 임의의 오차범위, 그러니까 0.1보다 작다고 합시다 0.1보다 작다고 합시다 이해가 잘 안 될수도 있는데 이것은 Y가 1.9보다 크고 2.1보다 작을 확률을 말하는 것입니다 이 두 명제는 동치입니다 생각해 보세요 이제 좀 더 말이 됩니다 구간이 생겼습니다 1.9와 2.1 사이의 모든 Y를 원합니다 이 전체 영역에 대해 이야기해 봅시다 핵심은 영역입니다 이 사건의 확률을 알고싶다면 이 점과 점 사이 곡선 아래의 면적을 알아야 합니다 미적분을 사용하면 이 점과 점까지 확률밀도함수의 적분이라고 할 수 있습니다 이 점과 점까지 확률밀도함수의 적분이라고 할 수 있습니다 음, 여백이 부족하네요 이 그래프에 대해 다른 색으로 그리겠습니다 이 선은 f(x)에 의해 정의되고 p(x)라고 해도 됐겠네요 이것이 일어날 확률은 미적분을 배웠다면 1.9에서 2.1까지 f(x)dx를 적분한 것과 같습니다 이것을 x축이라고 가정하고요 이건 매우 중요한 것입니다 왜냐하면 확률변수가 무한한 수의 값 구간 사이의 어떤 값도 가질 수 있는 것이기 때문입니다 정확히 1.999의 값을 가지는 확률은 0입니다 정확히 1.999의 값을 가지는 확률은 0입니다 이는 곡선 아래에 있는 이 선의 넓이가 얼마인지 묻는 것과 같습니다 더 정확하게 말하자면 이 선의 넓이가 얼마인지 묻는 것입니다 선을 그으면 선의 넓이는 넓이는 밑변에 높이를 곱한 것입니다 높이는 어떤 차원을 가지고 있지만 밑변은 선의 밑변의 길이는 얼마일까요? 선의 정의에 따르면 선에는 밑변이 없고 따라서 넓이도 없습니다 직관적으로 이해가 가야 합니다 어떤 아주 특정한 사건이 일어날 확률은 거의 0입니다 어떤 아주 특정한 사건이 일어날 확률은 거의 0입니다 2에 가까운 확률은 얼마인지 물어본다면 2에 가까운 확률은 얼마인지 물어본다면 그러면 넓이를 정의할 수 있습니다 그리고 1에서 3인치 사이의 비가 올 확률은 얼마인지 묻는다면 그리고 1에서 3인치 사이의 비가 올 확률은 얼마인지 묻는다면 그 확률은 더 높습니다 그 확률은 더 높습니다 이 전체가 되겠죠 0.1인치보다 적은 비가 올 확률은 얼마인지도 물을 수 있는데 0.1인치보다 적은 비가 올 확률은 얼마인지도 물을 수 있는데 이걸 0.1이라고 한다면 이 넓이를 계산하면 됩니다 내일 4인치 이상의 비가 올 확률이 얼마인지 묻는다면 내일 4인치 이상의 비가 올 확률이 얼마인지 묻는다면 그러면 여기서 시작해서 무한대까지 곡선 아래의 넓이를 계산하면 됩니다 그러면 여기서 시작해서 무한대까지 곡선 아래의 넓이를 계산하면 됩니다 그러면 여기서 시작해서 무한대까지 곡선 아래의 넓이를 계산하면 됩니다 그것은 무한대가 아니어야 합니다 그건 말이 안되는 확률입니다 합을 구했을때 그것이 어떤 수로 수렴해야 내일 4인치 이상의 비가 올 확률은 10%라고 할 수 있습니다 내일 4인치 이상의 비가 올 확률은 10%라고 할 수 있습니다 이제 머리에 전등이 켜진것처럼 모든 사건이 일어날 확률이 100%를 넘을 수 없다는 것이 갑자기 이해될 것입니다 그렇죠? 모든 사건이 일어날 확률의 합은 어떤 사건이 일어날 확률은 정확히 1입니다 따라서, 이 곡선 밑의 넓이는 정확히 1과 같습니다 f(x)dx를 0에서 무한대까지 적분한 값은 1과 같아야 합니다 미적분을 공부했다면 알 수 있죠 그렇지 않다면 적분은 곡선 아래의 영역을 계산한다고 알면 됩니다 그렇지 않다면 적분은 곡선 아래의 영역을 계산한다고 알면 됩니다 어떻게 하는지 배우고 싶다면 미적분 동영상을 보세요 어떻게 하는지 배우고 싶다면 미적분 동영상을 보세요 이것은 이산확률분포에도 적용될 수 있습니다 한번 그려보겠습니다 모든 확률의 합은 1이 되어야 합니다 주사위를 예로 들어보면 더 빠르게 그릴 수 있는 동전으로 합시다 두 확률의 합은 1입니다 각각 1과 0이고 X는 앞면일 때 1 뒤션일 때 0이라고 합시다 각각은 0.5가 되어야 합니다 꼭 0.5일 필요는 없지만 하나가 0.6이면 다른 하나는 0.4가 될 것입니다 합해서 1이 되어야 합니다 앞면이 나올 확률이 60%이면서 앞면이 나올 확률이 60%이면서 뒷면이 나올 확률도 60%가 될 수는 없습니다 왜냐하면 이 경우에는 결과가 나올 확률이 120%가 되는데 이건 말이 안 되는 일이기 때문입니다 따라서 확률분포함수 이 경우에는 이산확률변수인데 따라서 확률분포함수 이 경우에는 이산확률변수는 합이 1이어야 함을 이해해야 합니다 0.5 + 0.5인 것처럼요 이 경우에는 확률밀도함수 아래의 넓이가 1이 되어야만 합니다 이 경우에는 확률밀도함수 아래의 넓이가 1이 되어야만 합니다 시간이 다 되었네요 다음 동영상에서는 기댓값이란 것을 알아보겠습니다 다음 동영상에서는 기댓값이란 것을 알아보겠습니다 그때 봅시다