벤다이어그램과 확률

자, 카드를 이용한 확률를 조금 해봅시다. 이 비디오에서 우리는 우리의 덱(deck)에 조커가 들어 있지 않다고 가정할게요. 여러분은 조커를 넣어도 같은 문제를 풀 수 있을 거에요, 수들 간에 약간의 차이가 있을 테지만요. 그럼 이 방식으로, 우선 처음 이 트럼프에는 얼마의 카드가 들어 있을까 생각해 봅시다. 우선 4종류의 세트가 있습니다. 스페이드, 다이아, 클로버, 하트이지요. 이 네 개의 세트를 가지고 있습니다. 그리고 각각의 세트에는 13장의 다른 카드, 때로는 랭크라고 불리고 있는 카드가 있습니다. 그러니까 각각의 세트에는 13장의 카드가 있는 것입니다 우선 에이스. 그리고 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 그리고 잭, 킹, 퀸이 있어요. 이것이 13장의 카드입니다. 그리고 각각 세트의 어떤 카드든 가질 수가 있어요. 예를 들면, 다이아의 잭, 클로버의 잭, 스페이드의 잭이나 하트의 잭 등입니다. 그래서 이 두 개의 것을 곱한다면, 실제의 카드 덱에서는 각각 세고 다음에 조커를 덧붙이지만 여기에서는 단순하게 곱합니다. 4가지 세트에 각각 13장의 카드가 있습니다. 즉, 4 x 13 의 카드. 그러니까 일반적인 덱에서는 52장의 카드를 가지게 되겠지요. 다른 방법으로 생각한다면 여기에는 13장의 랭크나 종류의 카드가 있어서 각각 4가지 세트가 있는 겁니다. 13 x 4 = 52장의 카드를 얻게 되죠. 이건 이 정도로 하고, 그럼 다른 사상의 확률에 대해서 생각해 봅시다. 덱을 섞어 볼게요. 하나 하나 잘 섞도록 합니다. 그리고 저는 랜덤의 덱으로부터 한 장의 카드를 꺼낼 거에요. 그리고 이 꺼낸 카드가 얼마의 확률에 의한 것인지를 알고 싶습니다. 그럼 제가 잭을 꺼낼 확률은 어느 정도 일까요? 얼마나 동일하게 일어날 수 있는 사상이 있는 거지요? 이 52장의 카드로부터 어떤 카드든 꺼낼 수가 있습니다. 즉 이 카드를 꺼내는 데에는 52개의 가능성이 있는 겁니다. 거기로부터 잭을 꺼내는 것은 얼마의 가능성이 있을까요? 스페이드의 잭, 다이아의 잭, 클로버의 잭, 하트의 잭이 있습니다. 즉 4장의 잭이 있습니다. 덱에는 4장에 잭이 있는 거에요. 즉 4 / 52. 모두 4로 약분 하면 4 나누기 4는 1 52 나누기 4는 13 그럼 이제 다른 확률에 대해서 생각해 봅시다. 아시다 시피, 다시 하기 위해서 저는 이 잭을 덱에 넣고 다시 섞을 거에요. 그러니까 다시 52장의 카드가 되는 것이지요. 그럼 이제 하트를 집게 될 가능성은 어느 정도일까요? 한 장의 카드를 랜덤하게 꺼냈을 때 그것이 하트일 확률은? 그것이 하트의 세트일 경우는? 그럼 다시, 여기에는 52장의 카드로부터 꺼내는, 동일하게 일어날 수 있는 52 만큼의 가능성이 있습니다. 그 중에서 얼마 만큼이 하트 일까요? 기본적으로 이 안에는 13장이 하트 입니다. 각각의 세트는 13장씩 있기 때문에 각각 13장의 하트, 13장의 다이아, 13장의 스페이드, 13장의 클로버가 덱에 있습니다. 즉 13 / 52 가 하트가 되는 결과인 것이죠. 각각의 분자와 분모는 13으로 나누어 떨어집니다. 이것은 1 / 4과 같습니다. 4번 중에서 한번은, 그러니까 1 / 4의 확률로 저는 하트를 꺼내는 것이지요. 섞어놓은 덱으로부터 랜덤하게 카드를 꺼냈을 때의 이야기 입니다. 그럼 이제 좀 더 재미있는 것을 해봅시다. 좀 헷갈릴 수도 있을 텐데요. 그럼 이 꺼낸 카드가 잭이면서 하트일 확률은 얼마인가요? 카드에 대해서 알고 있다면 여기에는 잭의 하트가 1장만 있다는 것을 알고 계실 거에요. 문자 그대로 하트의 잭입니다. 즉, 고른 카드가 딱 잭의 하트일 확률은 얼마지요? 라는 이야기 입니다. 여기에는 오직 하나의 사상, 1장의 카드만이 조건에 맞네요. 이 가능한 52장의 카드들 중에서 말이지요. 즉, 1 / 52의 확률로 잭의 하트를 꺼낼 수가 있습니다. 잭이면서 하트가 되는 경우인 것이죠. 그럼 좀 더 재미있는 것도 해봅시다. 그럼 얼마의 확률로, -- 여러분은 여기서 동영상을 멈추고 제가 대답을 알려드리기 전에 좀 생각해 보실 수 있을 거에요 -- 그럼 다시 52장의 카드를 섞고 랜덤하게 한 장을 꺼냈을 때 잭 아니면 하트일 확률은 얼마 일까요? 즉 꺼낸 카드가 하트의 잭이거나, 다이아의 잭이거나, 스페이드의 잭이거나, 혹은 하트의 퀸이거나 아니면 하트의 2일 수도 있겠지요. 즉 그렇게 나올 확률은 얼마일까? 하는 문제입니다. 그리고 이건 더 재미있는 건데요, 우리는 52의 가능성이 있다는 것을 알고 있습니다. 하지만 얼마만큼의 가능성이 조건에 맞는지 그것이 잭일지 하트일지. 그런 것들을 이해하기 위해서 벤 다이어그램을 한번 그려 볼게요. 조금 생소한 이름일 수도 있겠지만 하나도 이상하지 않아요. 그럼 여기서 제가 그린 사각형이 모든 결과의 집합이라고 상상해 주세요. 즉 여기는 모든 52개의 가능한 영역이라고 생각할 수 있겠네요. 이 52개의 일어날 수 있는 결과들 중에서 얼마만큼의 수가 잭일까요? 이미 아까 배웠습니다. 1 / 13이 잭이 나올 확률입니다. 그래서 저는 여기에 작은 원을 그려 볼게요. 그리고 이 영역은 잭일 가능성을 나타냅니다. 그러니까 대략적으로 이건 1 / 13 이거나 4 / 52 인 것입니다. 그래서 저는 이렇게 그리도록 하겠습니다. 그러니까 여기는 잭이 나올 확률입니다. 이건 4지요. 여기에는 52장 중 4장의 카드가 즉 4 / 52 이거나 1 / 13입니다. 그럼 하트를 꺼낼 확률은 어떨까요? 여기에 다른 원을 그릴게요. 이것이 13 / 52, 즉 52장의 카드 안에서 13장이 하트인 것입니다. 그리고 실제로는 그 중의 한 장이 하트이면서 잭이 될 수 있지요. 그러니까 실제로 이 둘은 서로 겹치고 있는 부분이 있어요. 이걸 이해할 수 있으시길 바랍니다, 그러니까 여기에는 13장의 하트 카드가 있습니다. 즉 여기가 하트인 수이지요. 위에 있는 것도 저렇게 쓰지요. 이제 좀 깨끗해 보이네요. 여기가 잭이 나오는 수, 그리고 서로 겹치고 있는 여기가 잭이면서 하트가 나올 수이지요. 52장 중에 잭이면서 하트가 나올 수입니다. 여기에 초록색 원이 있고 여기에는 주황색 원이 있습니다. 그러니까 여기는 노랑색으로 그릴게요. 문제를 노랑색으로 했으니까요. 여기가 하트이면서 잭이 나올 수입니다. 그리고 여기에 작은 화살표를 하나 그릴게요. 좀 흩어질 수 있게 좀 크게 그릴게요. 여기가 잭이면서 하트인 수입니다. 여기는 서로 겹치고 있는 곳이지요. 그럼 얼마가 잭이면서 하트가 될 확률일까요? 이걸 생각할 때 사상의 총 가짓수 중에서 조건에 맞아 떨어지는 사상의 수가 확률이겠지요. 우리는 이미 사상의 총 가짓수는 52인 것을 알고 있습니다. 하지만 조건에 맞는 수는 얼마나 있지요? 그 수는, 여러분은 이렇게 말할 수 있을 겁니다 : 봐봐, 이 초록색 원은 잭이 나올 수이고 이 주황색 원은 하트가 나올 수야. 하지만 단순하게 초록색과 주황색 원의 수를 더해서 알아 내는 건 할 수 없습니다. 그렇게 되면 겹치고 있는 부분들을 이중으로 세어 버리는 게 되니까요. 만약 서로 더하게 되면, 단순하게 4 + 13이라고 하면 뭐라고 하는 거죠? 여기에는 4장의 잭이 있고 여기에는 13장의 하트가 있어요. 하지만 양쪽 모두를 세니까 하트의 잭도 세게 되겠지요. 우리는 하트의 잭을 이쪽에, 그리고 또 이쪽에서 하트의 잭을, 즉 우리는 하트의 잭을 2번씩이나 세 버립니다. 실제로는 한 장 밖에 없어도 말이죠. 그러니까 우리는 그 결과로부터 이중으로 센 부분을 뺄 필요가 있습니다. 여러분은 하트이면서 잭인 부분을 결과에서 제외시킬 필요가 있는 것이지요. 그럼 이 한 장을 뺀다고 합시다. 다른 방법으로는 여기 있는 모든 합계의 부분을 세는 것이지요. 좀 확대시켜 볼게요. 이걸 다시 그려보겠습니다. 하나의 원이 이쪽에 있고, 다른 서로 겹치고 있는 원도 이쪽에 있습니다. 이 더한 부분을 계산하고 싶어요. 여러분은 이쪽 원의 부분을 보고 또 이쪽 원의 부분을 서로 더합니다. 하지만 그렇게 되면 두 개의 영역을 서로 더했을 때 이 부분을 두 번씩 세게 됩니다. 한 번만 세도록 하기 위해서 더한 것으로부터 이 부분을 빼야 할 필요가 있습니다. 이 영역, 이쪽을 A라고 말한다면 이쪽은 B라고 할게요. 그리고 겹치는 부분은 C 입니다. 합쳐진 영역은 A + B 에서 서로 겹치고 있는 부분을 뺀 것입니다. 즉 - C를 한 것이지요. 이것으로 이쪽도 같은 결과가 되었습니다. 우리는 하트의 잭을 포함한 모든 잭을 센 겁니다. 그리고 우리는 잭의 하트도 포함한 모든 하트를 셌습니다. 그러니까 하트의 잭을 두 번 센 것이지요. 그러니까 그 중 한번은 뺄 필요가 있어요. 그러니까 4 + 13 - 1. 즉 16 / 52 입니다. 이 분자와 분모 모두를 4로 나눌 수 있습니다. 그러면 이렇게 되네요. 16을 4로 나누면 4가 나와요. 52 나누기 4는 13이지요. 바로 이것이, 4 / 13가 잭이나 하트가 나올 확률입니다.