조합을 이용한 확률

제가 확률에 대해 다루면서 순열과 조합을 계속 얘기하고 있는지 궁금할 지도 모릅니다, 이 비디오에서 그 이유를 알게 될 것입니다. 제가 확률이 얼마인지 알아내고 싶다고 해 봅시다, 이를테면 정상적인 동전을 8번 던지는 상황요. 그리고 8번 중 정확히 3번 앞면이 나올 확률을 알아내고 싶습니다. 3/8 앞면이라 말했지만, 3번은 앞면이고 나머지는 뒷면인 것을 말합니다. 어떻게 생각하면 될까요? 확률을 위해 사용했던 초기의 정의들 중 하나를 떠올려 봅시다. 거기에서, 어떤 사건이 일어날 확률은 동등한 확률을 가진 사건들 가운데에서 우리가 말하는 상황이 참인 상황이 발생할 확률과 같다고 말했죠. 그러니까 사건의 숫자가 - 시행 혹은 상황 중에서 - 우리가 3개의 앞면을 얻게 되는 시행의 숫자요. 정확히 3개의 앞면. 3개보다 많다고 말하진 않았죠. 따라서 4개의 앞면은 제외하고, 2개도, 5개도 제외합니다. 오직 3개의 앞면이 나온 경우만이예요. 그러면, 모든 동등한 확률을 가진 시행들의 숫자 가운데... 시행이 아니고, 모든 동등하게 가능한 결과들의 숫자 가운데에서. 결과, 라는 단어를 써야겠어요. 결과들, 이라는 단어를 쓰기로 하고, 우리는 우리가 말하는 일이 벌어지는 모든 경우의 숫자를 생각해야합니다. 그러니까 3개의 앞면이 나오는 경우들이죠, 그리고 이것을 모든 가능한 경우의 수로 나눠줘야겠죠. 자, 그럼 분모를 먼저 생각해 봅시다. 자, 그럼 분모를 먼저 생각해 봅시다. 내가 공정한 동전을 8번 던졌을 때 가능한 모든 경우들은 어떻게 될까요? 첫 번째 시행에서 앞면이나 뒷면이 나올 테니 2가지 결과가 있죠. 그리고 다시 던지면, 2번째 시행에 대해 2가지 결과가 더 있을 거예요. 그리고 나면, 전부 해서 얼마나 많은 결과들이 있을까요? 2 x 2가 되겠죠. 첫 번째 시행에서 2, 두 번째에서 2니까 사실상 우리는 2를 동전던지기 시행 횟수만큼 곱하면 됩니다. 5, 6, 7, 8..이니까 결과는 2의 8제곱이 되겠네요. 전체 가능한 결과의 수는 2의 동전던지기 시행 수 제곱이 될 것입니다. 그리고 다행히 이것은 잘 이해가 되겠죠. 만약 그렇지 않다면, 이전 비디오들을 다시 보도록 하세요. 하지만 이건 쉬운 부분이죠. 만약 당신이 공정한 동전을 8번 던진다면 2^8 가지 가능한 결과들이 있습니다. 그러면 그들 중 얼마나 많은 것들이 정확히 3번 앞면이 나오는 결과들일까요? 이렇게 생각해 봅시다. 각각의 시행에 대해 이름을 붙입시다. 그것들에게 이름을 붙입시다. 작은 열을 하나 만들고, 이걸 동전던지기 시행이라고 부릅시다. 그러니까 이게 시행 열이죠. 아무렇게나 이름을 붙여도 돼요. Larry, Curly, Mo라고 이름을 붙여도 되고요. 이름을... 음, 5개 더 붙이면 되는데... 일곱 난장이, 아니 사실 여덟 난장이네요, 라고 이름 붙이겠습니다. 8번 던지니까요. 각 시행에 번호를 매길게요. 시행 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 그리고 내가 확률의 신인데, 그러면 사실상 나는 이들 중 앞면이 나올 3개를 선택해야 합니다. 아니면 달리 생각하는 방법은, 이것들이 8명의 사람들이고 내가 이들 중 누구를 뽑아서, 3명을 뽑아서 차에 태울 방법의 수는 몇 가지일까요? 이들 중 3명을 뽑아 의자에 앉히는 방법의 수는 몇 가지일까요? 그리고 내가 그들을 어떤 순서로 뽑았는지는 상관없습니다. 만약 차에 들어갈 사람이 1, 2, 3이라고 말하든 3, 2, 1이라고 말하든, 혹은 2, 3, 1이라고 말하든 상관없습니다. 이것들은 모두 동일한 조합이니까요. 비슷하게 나는 그저 시행들 가운데 3개를 선택해서 앞면, 이라는 차에 타도 좋다고 허락하는 것입니다. 앞면이 나왔다는 것은 자리에 앉는 것과 같습니다. 너무 헷갈리게 하고 싶지는 않네요. 하지만 실질적으로 저는 8개 중 3개를 선택하려 하는 거예요. 그러니까 사실상, 8개 중 3개를 고르는 데에는 몇 가지 조합이 있을지 말하고 있는 것이죠. 그러면 당장 비슷한 것처럼 들릴 것입니다 우리가 사실상 8개 중 3개를 고르려 하고 있다는 것이요. 8개 중 우리가 3개를 뽑는 조합의 수는 얼마나 될 것인지, 지난 비디오에서 알아보았습니다. 우선 공식을 써서 시도해 봅시다. 기억을 되살리기 위해 공식을 여기 위에 써 볼게요, 하지만 이 공식에 숨어 있는 직관에 대해서도 다시 한 번 짚고 싶어요. 일반적으로, 우리는 n choose k라고 하는데, 이것은 n! 을 k! 곱하기 (n-k)! 로 나눈 것입니다. 그러니까 이 상황에서 그 결과는 8! 을 3! 곱하기 무엇으로 나눈 것? 8 - k... 그러니까 5!이죠. 아니면 달리 쓰는 방법은, 이 결과는 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 을.. 일단은 잠시 동안 3! 로 써 둘게요. 곱하기 5 x 4 x 3 x 2 x 1. 그리고 물론 이것들은 상쇄되고, 8 x 7 x 6 나누기 3! 만 남습니다. 적어도 공식의 이 부분에 대한 직관을 되찾길 바라는 마음에 이것을 했습니다. 이것은 사실상 8개 중 3개를 고르는 방법에 대한 이것을 했습니다. 그러니까 아직 아무것도 뽑지 않았을 때, 8가지 중 하나를 고를 수 있죠. 그 다음에는 두 번째 장소에 대해 7가지가 남아있고. 3번째에 대해서는 6가지가 남아있고요. 그러니까 이건 사실상 순열입니다. 하지만, 우리는 그들을 뽑는 순서에 개의차 않으니까 우리는 이것들을 3개의 물건을 재배열하는 방법 수로 나눠줘야 합니다. 그래서 3! 이 들어오는 것이죠. 당신을 헷갈리게 하지 않았길 바랍니다 하지만 만약 혼란스럽다면, 이항 계수에 대한 공식을 되새겨 보세요. 직관을 갖고 있으면 좋습니다. 그리고 그게 가능하다면, 그냥 계산하면 되죠. 자, 이건 뭘까요? 이건 8 x 7 x 6 나누기 3! 그러니까 3 x 2 x 1이네요. 그러니까 6이죠. 6은 상쇄되고, 그러니까 8 x 7. 따라서 8 x 7은... 뭐죠? 56. 56입니다. 그러니까 8가지 중 3가지를 선택하는 방법의 수는 56가지입니다. 혹은, 만약 8명의 사람이 있다면 그들 중 3명을 뽑아 차에 앉히는 방법이, 아니면 뭐든 원하는 문맥을 갖다 붙였을 때, 56가지입니다. 만약 8번 동전을 던지면, 이들 중 3개를 골라 앞면이 되게 할 방법의 수가 56가지 있습니다. 우리의 원래 확률 문제로 돌아가 보죠. 8개 중 3개의 앞면이 나올 확률은 얼마일까요? 8개 중 3개를 선택할 방법의 숫자이니까, 56... 을 전체 결과의 수로 나눠줘야 하겠죠. 전체 가능한 결과의 수는 2의 8제곱입니다. 달리 써 보면, 56... 똑같이 써볼게요. 그건 8 x 7 나누기 2의 8승입니다. 8은 2의 3승이고. 일부를 지우도록 하죠. 이 색으로 말고요. 지울게요. 공간을 위해 이걸 다 지울게요. 그리고 다른 색을 써 보면.. 작은 펜을 쓸게요. 좋아요, 다시 해 봅시다. 그러니까 8은 2의 3승과 같고, 7은 더 이상 간단히 만들 수 없네요 하지만 괜찮아요, 나누기 2의 8승. 우리가 그저 양번을 나누면, 분자와 분모를 모두 2의 3승으로 나누면, 이건 1이 됩니다. 이건 2의 5승이 되죠. 그러니까 결과는 7/32가 됩니다. 맞아요? 그러니까 내가 8개 중 3개를 뽑으려 한다면, 네 맞는 것 같네요. 이 결과는 어떻게 될까요? 계산기를 써봅시다. 이런 실수를... 흠.. 어디 보자.. 계산기가 사라진 것 같은데요... 다시 가져와 볼게요. 아 여기 있네요. 좋아요. 7/32는 0.21875입니다. 이건 21... 물론, 대략 반올림을 했을 때요, 21.9%의 확률과 같습니다. 그러니까 8번 동전을 던져 앞면이 3번 나올 확률은 1/5보다 조금 더 높네요. 혼란스럽게 하지 않았길 바라고, 이제 이 방법을 거의 아무 데에나 적용할 수 있어요. 그러니까, 이런 것도 할 수 있습니다 8번 동전을 던져 7번 앞면이 나올 확률은 얼마일까요? 아니면 이런 것도요, 100번 동전을 던져서 2번 앞면이 나올 확률은? 우리가 이 문제를 풀 때 쓴 것과 정확히 같은 방법을 쓰면 됩니다. 자 그럼 다음 비디오에서 봐요.