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코스: 기초 미적분학 > 단원 4

단원 1: 유리식을 가장 낮은 항으로 줄이기

유리식이란?

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유리식이 무엇인지 배워보고 어떤 값이 식을 성립하게 하지 않는지 알아봅시다.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 유리식에 대해 배워보겠습니다. 유리식이 언제 성립하지 않는지, 그리고 정의역은 어떻게 구하는지 배워 봅시다.

유리식이란 무엇인가요?

다항식은

3 x^{2} - 6 x - 1

과 같이

x

의 정수 거듭제곱을 가진 항들로 이루어진 방정식입니다.

유리식은 두 다항식의 나눗셈입니다. 다르게 말하면 분자와 분모가 다항식인 분수라고 할 수 있습니다.

아래는 유리식의 예입니다:

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

분자가 상수여도 되고 다항식은 다양한 차수와 형태를 가질 수 있습니다.

유리식과 성립하지 않는 값

유리식

\frac{2 x + 3}{x - 2}

을 봅시다.

특정

x

값에 대한 이 방정식의 값을 구해 봅시다. 예를 들어

x = 1

을 대입해 구해 봅시다.

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

x = 1

일 때 이 방정식의 값은

- 5

입니다.

이제

x = 2

일 때 방정식의 값을 구해 봅시다.

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = 성립하지 않습니다! \end{aligned}$ ‍

대입값이

2

이면 분모는

0

이 됩니다.

0

으로 나누는 것은 정의되지 않은 것이기 때문에

x = 2

는 이 방정식에서 가능한 대입값이 아닙니다!

유리식의 정의역

방정식의 정의역은 모든 가능한 대입값입니다.

유리식의 경우 분모를

0

으로 만드는 값을 빼고(

0

으로 나누는 것은 정의되지 않았기 때문에) 모든 값을 대입값으로 사용할 수 있습니다.

다르게 말하면 유리수의 정의역은 분모를 0으로 만드는 수를 제외한 모든 실수입니다.

예제: $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍의 정의역 찾기

분모의 x절편을 찾아 그 값들을 제외하면 됩니다.

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 or x + 4 = 0 & 0에 대한 곱셈의 성질 \\ x = 3 or x = - 4 & x 에 대해 풀기 \end{aligned}$ ‍

따라서 정의역은 $3$ ‍과 $-4$ ‍를 제외한 모든 실수, 또는 간단히

x \neq 3, - 4

라고 할 수 있습니다.

이해했는지 확인하기

1) $\frac{x + 1}{x - 7}$ ‍의 정의역은 무엇일까요?

2) $\frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍의 정의역은 무엇일까요?

유리식의 정의역은 분모를 0으로 만드는 수를 제외한 모든 실수입니다.

분모를 0으로 만드는 값을 찾아봅시다:

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 & 양변에서 1 빼기 \\ x & = - \frac{1}{2} & 양변을 2 로 나누기 \end{aligned}$ ‍

- \frac{1}{2}

이 분모를

0

으로 만들기 때문에 정의역에서 제거해야 합니다.

정의역은 $- \frac{1}{2}$ ‍을 제외한 모든 실수, 또는 간단히

x \neq - \frac{1}{2}

입니다.

3) $\frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍의 정의역은 무엇일까요?

유리식의 정의역은 분모를 0으로 만드는 수를 제외한 모든 실수입니다.

분모를 0으로 만드는 값을 찾아봅시다:

$\begin{aligned} x (x + 1) = 0 \\ x = 0 or x + 1 = 0 & 0에 대한 곱셈의 성질 \\ x = 0 or x = - 1 & x 에 대해 풀기 \end{aligned}$ ‍

분모를 0으로 만드는 값은

0

과

- 1

이기 때문에 정의역은 이 값들을 제외합니다.

정의역은 $0$ ‍과 $- 1$ ‍을 제외한 모든 실수, 또는 간단히

x \neq 0, - 1

입니다.

심화문제

4) $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍의 정의역은 무엇일까요?

유리식의 정의역은 분모를 0으로 만드는 수를 제외한 모든 실수입니다.

이 경우, 분모는 인수분해한 형태가 아닙니다. 따라서 분모를 인수분해하거나 다른 방법으로 분모를 0으로 만드는 값을 찾아야 합니다.

x^{2} - 2 x - 8 = 0

은 쉽게 인수분해 할 수 있습니다. 그러면 아래와 같습니다:

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 8 = 0 \\ (x - 4) (x + 2) = 0 \\ x - 4 = 0 or x + 2 = 0 & 0 에 대한 곱셈의 성질 \\ x = 4 or x = - 2 & x 에 대해 풀기 \end{aligned}$ ‍

분모를 0으로 만드는 값은

- 2

와

4

이기 때문에 정의역은 이 값들을 제외합니다.

정의역은 $- 2$ ‍와 $4$ ‍를 제외한 모든 실수, 또는 간단히

x \neq 2, - 4

입니다.

5) $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍의 정의역은 무엇일까요?

유리식의 정의역은 분모를 0으로 만드는 수를 제외한 모든 실수입니다.

하지만 이 경우 분모는 절대 0이 되지 않습니다. 모슨 실수

x

에 대해

x^{2} + 4 > 0

이기 때문입니다.

다르게 생각해보는 방법은 분모를 0으로 놓고

x

에 대해 푸는 것입니다.

$\begin{aligned} x^{2} + 4 & = 0 \\ x^{2} & = - 4 & 실수를 제곱하면 항상 양수입니다! \end{aligned}$ ‍

하지만 실수의 제곱은 음수일 수 없기 때문에 이것은 불가능합니다.

이는 분모가

0

이 될 수 없기 때문입니다. 따라서 정의역에 제한이 없습니다. 정의역은 모든 실수입니다.

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