합성함수란?

여기 세 가지 서로 다른 함수가 정의되어 있습니다 파란색으로 된 건 f(x) 여기 사상은 서로 다른 t값과 그에 대한 g(t)로서 g(t)의 정의로 사용합니다 이건 x에서 h(x)로의 사상입니다 예를 들면 x가 3일 때 h(x)는 0입니다 x가 1일 때는 h(x)가 2입니다 여기도 숫자를 써놓겠습니다 1, 2, 3 썼습니다 이번 강의에서는 어떤 개념을 소개드릴 것입니다 바로, 함수의 합성입니다 자, 함수를 합성한다는 건 무슨 뜻일까요? 그건, 어떤 함수를 만들되 그 방법이 한 함수를 다른 함수들과 결합하는 것일 때를 말합니다 혹은 내포화시킨다고 생각할 수도 있고요 그래서 그게 무슨 뜻일까요? 생각해봅시다 어떤 값을 구하려는데 f의 x말고, f의 쉽게 시작해 봅시다 f의 g(2)를 구하자는 겁니다 이 결과가 어떻게 될지 영상을 멈추고 스스로 생각해보셨으면 좋겠습니다 이 표기법에 익숙하지 않다면 얼핏 어려워 보일 수 있지만 함수란 게 뭔지만 기억하고 있으면 됩니다 함수는 그저 수들의 한 집합에서 다른 집합으로의 사상입니다 예를 들어 g(2)라는 것은 2를 취해서 g라는 함수에 입력하여 어떤 출력을 얻어내는데 그걸 g(2)라고 부르는 겁니다 자, 이제 출력된 g(2)를 가지고 함수 f에 입력할 겁니다 g(2)를 f에 입력하면 얻게 될 결과는 f의 입력값이니 f(g(2))입니다 차근차근 봅시다 g(2)는 뭘까요? t가 2일 때 g(2)는 -3임을 찾을 수 있습니다 이 -3을 f에 넣으면 뭘 얻을까요? -3의 제곱에 1을 빼면 9 빼기 1이니 8이 됩니다 이 8이라는 결과가 최종적으로 f(g(2))가 됩니다 같은 논리로 f(h(2))를 구해 볼까요? 다시 한번 이 영상을 멈추고 스스로 생각해보셨으면 합니다 이번엔 이렇게 해봅시다 아까처럼 그림을 그리지 말고 여기 x를 입력하면 그게 뭐든 간에 제곱해서 1을 뺀다는 걸 생각해보는 겁니다 이번엔 입력이 h(2)니까 그 h(2)를 가지고 그대로 제곱해서 1을 빼는 겁니다 그러니까 f(h(2))는 h(2)의 제곱 빼기 1이 됩니다 h(2)는 무엇입니까? x가 2일 때 h(2)는 1입니다 이걸 대입하면 식은 간단히 1의 제곱 빼기 1이 됩니다 이건 그냥 1 빼기 1이니까 답은 0이 됩니다 그림으로도 해보겠습니다 일단 2를 h에 입력하여 1을 얻습니다 이렇게 구한 게 h(2)인거고 다시 이걸 f에 입력하면 f(1)을 출력할 테니까 1의 제곱 빼기 1 해서 0을 얻습니다 바로 이게 f(h(2))입니다 h(2)가 f에 입력되었으니 출력은 f의 입력 즉 f(h(2))를 얻은 겁니다 더 나아가 봅시다 합성을 하는 겁니다 이 세 개 함수를 모두 결합해 봅시다 뭘로 해볼까요... 즉석으로 생각하는 거라 결과가 잘 나오길 바라며 g(f(2)) 를 골라봅니다 제가 잠깐만 생각해보겠습니다 이게 g(f(2))겠고 이제 한 번 h(g(f(2)))를 해봅시다 우리가 하려는 건 삼중 합성입니다 여러 가지 방법으로 할 수 있는데 한 가지는 f(2)를 알아내는 겁니다 f(2)는 2의 제곱 빼기 1이니 4 빼기 1 즉 3입니다 f(2)가 3이었으니 g(3)를 구해야겠지요? t가 3일 때 g(3)은 4입니다 이 덩어리가 4인 겁니다 f(2)가 3 g(3)이 4 그럼 h(4)를 구해야겠지요? 여기 이 그래프로 돌아가 봅시다 x가 4일 때 h(4)는 -1입니다 즉 h(g(f(2)))가 -1이 되는 겁니다 이제 함수의 합성을 조금 더 친숙하게 계산할 수 있길 바랍니다