선형독립이란?

벡터의 집합이 있다고 가정합시다 벡터의 집합이 있다고 가정합시다 좀 두껍네요 한 열 벡터 [2 3]과 다른 열 벡터 [4 6]이 있습니다 다음 질문에 답변하고자 합니다 이 두 벡터의 생성은 무엇인가요? 이 벡터들을 위치벡터라고 합시다 이 두 벡터로 나타낼 수 있는 모든 벡터는 무엇일까요? 자, 한번 떠올려보세요 생성은 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있는 모든 벡터를 의미합니다 따라서 이것은 임의의 실수 c1과 c2에 대해서 c₁ × [2 3] + c₂ × [4 6]으로 나타낼 수 있는 c₁ × [2 3] + c₂ × [4 6]으로 나타낼 수 있는 모든 벡터의 집합입니다 모든 벡터의 집합입니다 자, 우선 발견할 수 있는 사실은 오른쪽 벡터는 왼쪽 벡터의 2배라는 것입니다 오른쪽 벡터는 왼쪽 벡터의 2배라는 것입니다 따라서, 이렇게 표현할 수도 있어요 c₁ × [2 3] + c₂ × 2[2 3] c₁ × [2 3] + c₂ × 2[2 3] c₁ × [2 3] + c₂ × 2[2 3] 오른쪽 벡터가 왼쪽 벡터의 상수배이기 때문이죠 그래서 이와 같이 표현할 수 있습니다 이 벡터는 [4 6] 이죠 2 × 2 = 4 이고 2 × 3 = 6 이니까요 좀 더 간단하게 나타내 볼까요? (c₁ + 2c₂) × [2 3] (c₁ + 2c₂) × [2 3] c1과 c2는 임의의 상수입니다 임의의 상수와 다른 임의의 상수의 두 배 값을 더한 것이죠 임의의 상수와 다른 임의의 상수의 두 배 값을 더한 것이죠 이 값을 c₃으로 나타냅시다 그럼 c₃ × [2 3] 이 되겠죠 이 상황에서, 두 벡터의 생성은 비록 두 벡터로 시작했지만 벡터들 사이의 임의의 선형결합으로 만들어질 수 있는 모든 벡터를 말합니다 치환을 이용하면 첫 번째 벡터의 스칼라곱으로 간단히 나타낼 수 있습니다 다른 방법도 있습니다 이 벡터에 1/2를 곱하여 치환하면 두 번째 벡터에 대한 스칼라곱이 만들어집니다 하지만, 사실 두 벡터의 선형결합 대신 한 벡터의 스칼라 결합으로 줄일 수 있습니다 한 벡터의 스칼라 결합으로 줄일 수 있습니다 R²에서 한 벡터에 대한 스칼라 결합을 확인하였습니다 특히 위치벡터에 대해서 말이죠 예를 들어, 벡터 [2 3]이 있습니다 예를 들어, 벡터 [2 3]이 있습니다 이렇게 있겠죠 이 벡터의 모든 스칼라 결합은 이 직선 위에 존재합니다 따라서 [2 3]이 여기에 있겠죠 그들은 이 직선에 놓이게 되고 따라서 양쪽 방향으로 영원히 갑니다 만약 [2 3]에 음수를 곱하면 이 밑으로 가겠죠 양수를 곱하면 여기로 가겠죠 만약 아주 큰 양수값을 곱하면 이 위로 갈 것입니다 원점을 기준으로 벡터를 나타내면 이 화살표들은 이 직선을 따라 움직입니다 이 화살표들은 이 직선을 따라 움직입니다 따라서 벡터 집합의 생성은 위치를 조정하겠습니다 위치를 조정하겠습니다 벡터 [2 3]과 [4 6]의 집합의 생성은 바로 이 직선입니다 비록 벡터가 두 개라도 그들은 동일선상에 있습니다 그들은 서로 상수배이기 때문이죠 이 말은 즉, [2 3]과 [4 6]은 이 직선에 있다는 뜻입니다 이렇게 길게 있죠 그들은 동일선상에 있습니다 그들은 동일선상에 있습니다 그들은 동일선상에 있습니다 이 경우, R²의 두 벡터가 동일선상에 있을 때 그들의 생성은 이 직선 하나로 간단히 나타납니다 이런 벡터는 나타낼 수 없습니다 새로운 색으로 해볼게요 이런 벡터는 이 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 없습니다 이 직선을 벗어날 방법이 없어요 따라서 R²에선 달리 나타낼 방법이 없습니다 그러므로 생성은 단지 이 직선인 것이죠 이와 관련된 개념이 있습니다 두 벡터가 있습니다 그런데 선형결합을 취하면 하나의 벡터로 줄어듭니다 이와 관련된 개념으로 이 집합을 선형종속이라고 합니다 이 집합을 선형종속이라고 합니다 이것은 선형종속인 집합입니다 선형종속은 집합의 한 벡터를 집합의 다른 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것을 말합니다 이렇게 생각해 볼까요 다른 벡터로 나타낼 수 있는 여러분이 선택한 어떤 벡터든 새로운 방향이나 혹은 정보를 추가하지 않았죠? 이 경우엔 이 방향으로 진행하는 벡터가 있고 (4, 6)을 지날 때 크기만 커질 뿐 동일한 방향으로 진행합니다 따라서 직선을 벗어나게끔 하는 새로운 차원이 주어지지 않았습니다 그렇죠? 이렇게 상상해 볼 수 있습니다 3차원 공간에서 동일선상에 없는 이 벡터와 또 다른 벡터가 있으면 2차원 공간을 정의하게 됩니다 2차원 공간을 정의하게 됩니다 이 평면이 이 두 벡터로 정의되었다고 합시다 이 평면이 이 두 벡터로 정의되었다고 합시다 R³를 정의하기 위해선 집합 내의 세 번째 벡터는 이 두 벡터와 동일평면상에 존재할 수 없습니다 만약 이 세 번째 벡터가 이들과 동일평면상에 있다면 더 이상의 방향성을 추가하지 못합니다 따라서 이 세 벡터의 집합은 또한 선형종속이 됩니다 다른 방법으로 생각해 볼까요 두 보라색 벡터는 그들이 정의한 이 평면을 생성합니다 맞죠? 이 평면에서 어느 방향으로든 가는 무슨 벡터든지 그것을 생성한다는 것은 임의의 벡터를 이 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것을 말합니다 이 말은 즉, 이 벡터가 이 평면 위에 있으면 저 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 뜻이죠 따라서 추가된 이 녹색 벡터는 이것이 선형종속 집합이기 때문에 벡터 집합의 생성에 어떤 것도 추가하지 않을 것입니다 이 벡터는 이 두 벡터의 합으로 표현할 수 있습니다 이 둘은 이 평면을 생성하기 때문이죠 이 세 벡터의 생성을 더 입체적으로 혹은 R³로 나타내려면 세 번째 벡터는 이 평면을 벗어나야 합니다 이 평면을 벗어나야 해요 만약 이 벡터가 평면을 벗어난다면 이 벡터는 그 평면에 나타날 수 없고 따라서 이 두 벡터 생성의 바깥에 있게 됩니다 바깥에 있으면 이 벡터는 여기 두 벡터의 선형결합으로 표현할 수 없습니다 다른 벡터는 없고 딱 이 세 벡터만 있다면 선형독립입니다 두 개의 예시를 들어줄게요 지나치게 추상적이었죠 자, 예를 들어 벡터 [2 3], [7 2], [9 5]가 있습니다 이들은 선형종속일까요? 아니면 선형독립일까요? 보자마자 쉽지 않겠다고 느끼셨나요 자, 이것은 이 벡터의 스칼라배가 아닙니다 이 벡터는 다른 두 벡터의 스칼라배가 아닌 것 같아요 아마 그들은 선형독립이겠네요 그런데 자세히 살펴보면 각 벡터를 v₁,v₂,v₃ 라고 했을 때 v₁ + v₂ = v₃ 입니다 따라서 v₃는 다른 두 벡터의 선형결합입니다 따라서 v₃는 다른 두 벡터의 선형결합입니다 따라서 이것은 선형종속 집합입니다 두 공간으로 나누어서 그려볼까요 이건 일반적인 개념이에요 자, 봅시다 R²가 있습니다 일반적인 개념이죠 2차원상에서 벡터가 세 개가 있다면 그 중 하나는 여분입니다 명백히 여분인 벡터죠 예를 들어, 벡터 [2 3]이 있다고 합시다 첫 번째 벡터죠 원점을 기준으로 그립니다 그리고 벡터 [7 2]도 그립니다 R²의 어떤 점이든 이 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있습니다 심지어 그래프로도 나타낼 수 있어요 이전 강의에서도 했었죠 따라서 v₁과 v₂의 생성은 R²라고 말할 수 있습니다 이 말은, 여기 있는 모든 벡터, 모든 위치는 이 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 뜻이에요 자, 벡터 [9 5]는 R² 내에 있습니다 그렇죠? 이 평면에 그렸습니다 이 평면에 그렸습니다 2차원 실수공간에 말이죠 이것을 R² 공간 혹은 집합으로 부를 수 있을겁니다 바로 여기 있어요 바로 여기 있어요 따라서 R²의 어떤 벡터든 이 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있습니다 그러므로 명백히 이것은 R²이고 선형결합으로 나타낼 수 있어요 생성과 선형독립 혹은 선형종속 사이의 관계가 생성과 선형독립 혹은 선형종속 사이의 관계가 보이기 시작할 것입니다 다른 예시를 봅시다 벡터가 있습니다 새로운 색으로 하죠 이 문제는 좀 더 명백할 거예요 v₁ = [7 0], v₂ = [0 -1] v₁ = [7 0], v₂ = [0 -1] v₁ = [7 0], v₂ = [0 -1] 자, 이 집합은 선형독립인가요? 자, 이 집합은 선형독립인가요? 둘 중 하나를 다른 하나의 선형결합으로 나타낼 수 있나요? 선형결합을 하려면 벡터가 두 개 밖에 없기 때문에 한 벡터를 다른 벡터로 상수배 해야 합니다 이 벡터로 상수배 하려면 남은 이 벡터를 가지고 할 수 밖에 없으므로 따라서 할 수 있는 것은 이 벡터를 상수배 하는 것입니다 제가 할 수 있는게 없어요 비록 이 벡터에 어떤 상수를 곱하더라도 자기 자신을 더하거나 상수배 하더라도 이 항은 항상 0이 될 것입니다 이 항은 항상 0이 될 것입니다 따라서, 어떤 값을 곱해도 이 벡터가 나오지 않습니다 마찬가지로 이 벡터에 어떤 값을 곱하더라도 맨 위의 항은 항상 0이 됩니다 이 벡터를 얻을 수 있는 방법이 없어요 그러므로 두 벡터 모두 서로에 대한 선형결합으로 나타낼 방법이 없습니다 따라서 이 둘은 선형독립입니다 그래프로 나타내보죠 하나는 (7, 0) 입니다 노란색 말고 다른 색으로 하죠 노란색 말고 다른 색으로 하죠 (7, 0) 그리고 다른 하나는 (0, -1) 입니다 이 둘에 대한 선형결합을 이용하면 R²의 어떤 것이라도 나타낼 수 있다고 확신합니다 R²의 어떤 것이라도 나타낼 수 있다고 확신합니다 이들의 생성, 즉 v₁와 v₂의 생성은 R²입니다 여기 또 다른 흥미로운 점이 있습니다 v₁와 v₂의 생성은 R²라고 했죠 이 예시에서 v₁, v₂, v₃의 생성은 무엇일까요? 이 예시에서 v₁, v₂, v₃의 생성은 무엇일까요? 이미 얘기했어요 이 세 번째 벡터를 이 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있음을 보였죠 사실 두 벡터를 더하면 되니까요 심지어 여기에 그릴 수도 있어요 단지 두 벡터를 더한 것입니다 따라서 두 벡터의 선형결합으로 확실히 나타낼 수 있습니다 따라서 두 벡터의 선형결합으로 확실히 나타낼 수 있습니다 그럼 생성은 무엇일까요? 이 벡터가 여분이라는 것은 그 생성에 영향을 미치지 않는다는 뜻입니다 그것은 가능한 모든 선형결합을 바꾸지 않습니다 따라서 이 생생도 R²가 됩니다 이것은 단지 R²를 생성하는데 필요한 벡터일 뿐입니다 R²는 2차원 공간이므로 두 벡터가 필요합니다 따라서 이것은 기저를 만드는 더 효율적인 방법입니다 아직 공식적으로 기저를 정의하지 않았죠 하지만 자연스럽게 쓰다 보면 그것을 공식적으로 정의할 때 도움이 될 것입니다 이것은 더 나은 기저, 혹은 R²를 나타낼 수 있는, 여분이 없는 벡터들의 집합을 만듭니다 이것은 여분의 벡터입니다 따라서 이것은 R²를 생성하는데 도움이 되지 않습니다 3차원에서의 예시를 하나 더 들어볼게요 다음 강의에서 선형종속 또는 선형독립의 공식적인 정의를 내리려고 해요 벡터 [2 0 0]이 있습니다 위와 비슷한 방식으로 접근합니다 벡터 [2 0 0], [0 1 0], [0 0 7]이 있습니다 벡터 [2 0 0], [0 1 0], [0 0 7]이 있습니다 모두 R³의 원소가 되겠죠? 이 벡터들은 각각 3차원 벡터입니다 그렇다면, 이들은 선형종속인가요? 아니면 선형독립인가요? 그렇다면, 이들은 선형종속인가요? 아니면 선형독립인가요? 미안합니다, 이들은 선형종속인가요? 아니면 선형독립인가요? 이 두 벡터로는 0이 아닌 항을 만들 수 없습니다 이 세 번째 벡터처럼 말이죠 이 값과 이 값에 무엇을 곱하더라도 마지막 항은 0이 되기 때문이죠 따라서 이 벡터는 벡터 집합에서 새로운 방향을 제시합니다 마찬가지로 이 벡터와 이 벡터의 선형결합으로는 0이 아닌 항을 만들 수 없습니다 마지막으로 이 벡터와 이 벡터의 선형결합 또한 0이 아닌 항을 만들 방법이 없어요 그러므로 이 집합은 선형독립입니다 그러므로 이 집합은 선형독립입니다 3차원의 그래프에 이들을 나타낸다면 이 벡터들은 같은 평면상에 있지 않습니다 이 벡터들은 같은 평면상에 있지 않습니다 명백하게, 그들 중 둘은 같은 평면에 존재하지만 실제 그래프로 나타내 볼게요 이것을 x축이라고 합사다 [2 0 0]이 있습니다 [0 1 0]도 있죠 이것은 y축입니다 그리고 [0 0 7]이 있어요 아마 이렇게 생겼을 것 같네요 따라서 3차원상의 축처럼 보이죠 벡터 i, j, k 같이 생겼어요 살짝 상수배하였습니다 하지만 그들을 상수배시키면서 언제나 수정할 수 있어요 이들의 선형결합에 대해서 다루고 있기 때문이죠 따라서 이 세 벡터의 생성은 셋 다 새로운 방향성을 띠기 때문에 R³가 됩니다 셋 다 새로운 방향성을 띠기 때문에 R³가 됩니다 그나저나, 여러분 잘 따라오셨나요 길고 긴 강의였습니다 짧게 끝내는 습관을 가져야겠어요 다음 시간에는 여러 예시들과 함께 선형종속의 공식적인 정의를 내리도록 하겠습니다 선형종속의 공식적인 정의를 내리도록 하겠습니다 선형종속의 공식적인 정의를 내리도록 하겠습니다