전치행렬

여기 m x n인 행렬 A가 있습니다 여기 m x n인 행렬 A가 있습니다 행 m개와 열 n개죠 일반적으로 이렇게 적을 수 있겠군요 첫 번째 행은 a11 입니다 첫 번째 행, 첫 번째 열이죠 a12는 첫 번째 행, 두 번째 열입니다 n번째 열까지 있죠 따라서 a1n은 첫 번째 행, n번째 열입니다 두 번째 행은 다음과 같습니다 두 번째 행, 첫 번째 열 두 번째 행, 두 번째 열 두 번째 행, n번째 열까지 있어요 이런식으로 m번째 행까지 계속합니다 이런식으로 m번째 행까지 계속합니다 m번째 행은 이렇게 되겠네요 이들을 각각의 행과 열에 대한 성분입니다 무엇을 보느냐에 따라 다르지만 말이죠 그러므로 이것은 am1입니다 m번째 행과 첫 번째 열이죠 다음은 am2 입니다 이렇게 amn까지 있습니다 이렇게 행렬이 완성됩니다 이것이 바로 행렬 A입니다 이제, A의 전치행렬을 정의하겠습니다 윗첨자 T로 표현합니다 행렬 A의 전치는 기본적으로 모든 행과 열이 뒤바뀐 행렬입니다 즉, 행렬 A의 전치는 n x m 행렬이 됩니다 행렬 A가 m개의 행 n개의 열이 있었다면 행렬 A의 전치는 n개의 행 m개의 열이 있는 것입니다 이는 어떻게 생겼을까요? 이는 어떻게 생겼을까요? 자, 행과 열을 바꿀 겁니다 즉, 첫 번째 행이 첫 번째 열이 됩니다 a11부터 시작합니다 이 성분은 그대로입니다 하지만 이 성분은 자리가 바뀝니다 a12 말이죠 두 번째 행, 첫 번째 열에 있던 성분이 두 번째 행, 첫 번째 열에 있던 성분이 두 번째 열, 첫 번째 행으로 옵니다 두 번째 열, 첫 번째 행으로 옵니다 이런 방식으로 a1n까지 바뀝니다 ain 처럼 보이는군요 a1n으로 고쳐 적을게요 n개의 열이 생기기 때문에 성립합니다 실수했네요 n개의 행이 생깁니다 과거에 n개의 열이 있었으니까요 지금은 n개의 행이 있습니다 이 행은 전치되면 이렇게 됩니다 a21, a22, ... , a2n 지금까지 해왔던 걸 생각하면 이 표기법이 헷갈릴 수도 있습니다 첫 번째 수는 행을 두 번째 수는 열을 뜻한다고 알고 있었으니까요 위에서 했던 것처럼 말이에요 여기서는 행과 열의 표기법을 잠시 잊으셔도 됩니다 행렬에서 첫 번째 행 두 번째 열에 있던 성분이 지금은 여기 있습니다 전치행렬에 대해서는 이 아래첨자를 그대로 해석하지 마세요 반대로 해석하면 됩니다 이것은 첫 번째 열 두 번째 행입니다 원래는 두 번째 행 첫 번째 열이였죠 원래는 두 번째 행 첫 번째 열이였죠 아래첨자 표기법에 헷갈리지 않았으면 합니다 아래첨자 표기법에 헷갈리지 않았으면 합니다 전치행렬을 얻기 위해 모든 행을 열로 바꾼다고 생각하면 됩니다 이런 방식으로 계속합니다 여기 있는 m번째 행은 이제 m번째 열이 됩니다 am1, am2, ... , amn am1, am2, ... , amn 따라서 이 항은 저 항이 됩니다 이 항 또한 저 항이 되고요 저 항이 저 항으로 되겠죠 감이 좀 오지 않나요 이게 바로 A의 전치행렬입니다 추상적으로 생각하면 약간 헷갈릴 수도 있어요 전치와 관련된 증명을 해보면 전치의 진가를 알게 될 것입니다 하지만 구체적인 수로 이루어진 행렬의 전치는 그다지 어렵지 않을 겁니다 2 x 2 행렬로 시작해봅시다 다른 색을 이용하여 최대한 행과 열을 구분할게요 여기 행렬이 있습니다 행렬 A가 있고 행렬 B가 있습니다 행렬 A는 전에 정의했었죠 행렬 B를 [1 2 3 4] 라고 합시다 행렬 B를 [1 2 3 4] 라고 합시다 색깔이 상당히 비슷하네요 그러면 행렬 B의 전치행렬 무엇일까요? B의 전치행렬을 구하려면 행과 열을 바꿉니다 B의 전치행렬을 구하려면 행과 열을 바꿉니다 즉 첫 번째 행은 이제 첫 번째 열이 됩니다 1, 2 그리고 두 번째 행은 두 번째 열이 됩니다 3, 4 아니면 이렇게 볼 수도 있습니다 첫 번째 열이 이제 첫 번째 행이 됐고 두 번째 열이 이제 두 번째 행이 됐다고 말이죠 예제를 풀어보죠 2 x 3 이나 3 x 3 행렬보다 더 어려운 예제를 풀어봅시다 이해하는 데 도움이 될 겁니다 행렬 C가 있다고 합시다 행렬 C가 있다고 합시다 큰 행렬을 만들어보죠 4 x 3 행렬이 있습니다 숫자로 채워 볼까요? 1, 0, -1 2, 7 다른 색으로 적는 것을 깜박했네요 다른 색으로 적어봅시다 2, 7, -5 그리고 4, -3, 2 아직 한 행이 더 남았죠? -1, 3, 0 행렬 C가 완성됐습니다 보기 좋게 색깔을 맞춰볼게요 보기 좋게 색깔을 맞춰볼게요 같은 색의 괄호를 만듭니다 그러면 행렬 C의 전치행렬은 무엇일까요? C의 전치행렬은 말이죠 다른 색으로 하겠습니다 C의 전치행렬은 3 x 4 행렬이 됩니다 모든 행과 열이 뒤바뀐 혹은 모든 열과 행이 뒤바뀐 행렬이라고 보면 되겠네요 즉, 3 x 4 행렬이 됩니다 즉, 3 x 4 행렬이 됩니다 첫 번째 행은 이제 첫 번째 열이 됩니다 1, 0 , -1 여기 있는 두 번째 행은 이제 두 번째 열이 되겠죠 2, 7, -5 전과 같은 초록색을 사용하지 않았지만 이해하는 데 지장은 없을겁니다 여기 있는 세 번째 행은 세 번째 열이 됩니다 4, -3, 2 그리고 마지막으로 네 번째 행은 네 번째 열이 되겠죠 -1, 3, 0 우리가 한 것은 단지 이것뿐입니다 두 번째 행, 세 번째 열에 있던 이 성분이 지금은 어디에 있죠? 이제 두 번째 열 세 번째 행에 있습니다 단지 행과 열을 바꾸었을 뿐입니다 다른 성분도 해봅시다 한번 볼까요? 이걸 해봅시다 이 성분은 세 번째 행에 있네요 1, 2, 3 그리고 두 번째 열에 있습니다 그리고 두 번째 열에 있습니다 여기 하단에 그 성분은 이제 세 번째 열, 두 번째 행에 있습니다 이것이 바로 전치입니다 흥미로운 문제를 내볼까요? 전치행렬을 전치하면 어떻게 될까요? 만약 행렬 C를 전치하고 또 전치하면 어떻게 되죠? 과연 어떻게 될까요? 행렬 C에서 전치행렬로 바꿀 때 모든 행과 열을 뒤바꿨습니다 행과 열의 모든 성분을 말이죠 전치할 때 이 성분을 예로 듭시다 이 성분은 두 번째 행, 세 번째 열입니다 여기서 전치를 하게되면 두 번째 열, 세 번째 행이 되죠 한번 더 전치하게 되면 다시 두 번째 행, 세 번째 열이 됩니다 따라서, C의 전치행렬의 전치행렬은 C 자신이 됩니다 전치를 할 때 모든 행과 열을 뒤바꾸죠 전치를 할 때 모든 행과 열을 뒤바꾸죠 여기서 다시 전치를 하면 모두 제자리로 돌아옵니다 그게 다입니다 아무튼 유용하게 쓰이길 바랍니다