선형변환의 합성 1

선형변환의 개념에 덧붙여 공부를 해보겠습니다 두개의 선형변환이 있다고 해봅시다 집합 X에서 Y로 사상하는 변환 S가 있습니다 X는 Rn의 부분집합입니다 Y는 Rm의 부분집합입니다 S는 선형변환입니다 그러므로 행렬 벡터곱으로도 표현할 수 있습니다 S(X)로 쓸 수도 있습니다 똑같은 색깔로 써보죠 S(X)=Ax 라고 표현할 수 있습니다 A는 행렬이고 X는 벡터입니다 행렬 A와, 우리가 사상하려는 벡터 x의 곱이 되겠죠 여기서 벡터 x는 Rn의 원소입니다 여기에 써보도록 하죠 여기에 써보도록 하죠 x는 Rn의 원소라고 쓰겠습니다 실은 Rn의 부분집합인 X의 원소일 것입니다 행렬 A의 차원이 무엇인지 구해보려고 합니다 이것은 n개의 성분을 가질 것입니다 행렬 A는 n개의 열이 있어야만 합니다 행렬 A를 m×n의 행렬이라고 합시다 또 다른 선형변환이 있다고 해봅시다 방금 전까지 한 것을 그림으로 그려봅시다 X라는 집합이 있어요 X는 Rn의 부분집합이죠 이렇게 그릴 수 있겠죠 X를 Y로 변환하는 S라는 사상, 혹은 선형 변환도 그려봅시다 이것은 새로운 집합 Y를 만들어내죠 Y는 Rm의 원소입니다 사상은 이렇게 그려볼 수 있겠죠 이 집합의 어떠한 원소에 대하여 S 변환시킵니다 선형변환이라고 했었죠 Rm의 집합인 Y에 속하는 어떠한 값이 나올 것입니다 선형변환을 행렬로 표현하면 m×n의 행렬이 된다고 했었습니다 n개의 항목을 가진 것부터 시작해볼게요, Rn의 원소인 벡터부터요 Rm에 속하는 벡터를 결과물로 가지고 싶으니까요 자, 이제 또 다른 선형변환 T가 존재한다고 해봅시다 집합 Y를 집합 Z로 사상하는 변환입니다 이것 역시 그려볼게요 여기 Z라는 또 다른 집합이 있습니다 Y의 원소들을 선형변환 T를 통해 Z의 원소들로 사상하므로 이렇게 그릴 수 있겠네요 아까 한 것과 비슷하죠 Y는 Rm의 원소라는 것을 압니다 원소라기보다 Rm의 부분집합이라고 할 수 있죠 이 레터들은 모두 임의의 것입니다 100이든 5든 아무것이나 될 수 있어요 최대한 추상적인 개념으로 설명해보려고 합니다 Z는 Rl의 원소입니다, 알파벳이 점점 부족해지고 있군요, Z는 Rl의 원소입니다 그렇다면 변환 T의 행렬은 어떻게 표현할 수 있을까요? 선형변환이라는 것을 알죠? 아까 언급했습니다 그렇다면 이 형태로 표현될 수 있습니다 T(X)가, 여기서 X는 Rm의 원소입니다, 어떠한 행렬 B에 X를 곱한 것과 같습니다 행렬 B의 차원은 어떨까요? X는 Rm의 원소이므로 B는 m개의 열을 가질 것입니다 Rl의 원소인 집합으로의 사상된다면 Rm의 원소로부터 Rl의 원소로 사상되는 것입니다 그러므로 l×m의 행렬을 가지겠네요 매우 자연스럽게 여러분들은 한 가지 질문을 떠올렸을지 모릅니다 집합X에서 집합T로 한 번에 가는 사상을 만들 수는 없을까요? 아마 합성이라고 부를 수 있는, S와 T의 결합을 이용한 사상을 만들 수 있습니다 새로운 단어를 지어내도록 합시다 T⚬S 를 X에서 Z로 가는 사상이라고 해봅시다 T와 S의 합성이라고 부르겠습니다 근본적으로 집합 X에서 T를 거쳐 Z로 가는 사상을 만들기 위해서 두 가지 함수를 합친 것입니다 아직 이것을 정의하지는 못했습니다 어떻게하면 실제로 이 합성을 만들 수 있을까요? 일단 S 변환을 적용시키는 것이 첫 번째 순서이겠죠 이것이 우리가 다룰 X라고 해봅시다 S 변환을 시키면, S(X)가 나오겠죠 S(X)는 Y집합에 있는 이 값을 줍니다 이 값에 T 변환을 적용하면 어떻게 될까요? 이 값에 T 변환을 적용시키면 이 값이 나올지 모릅니다 Rm에 속하는 Y집합에 적용된 선형변환 T가 되겠네요 이 변환을 X에 적용된 변환 S에 적용시켜보겠습니다 이 표현들이 어렵게 보일 수 있지만 이것은 Rm의 부분집합인 집합 Y의 벡터일 뿐입니다 이 벡터는 X에 속하는 것이구요 사상을 적용할 때에, Y에 속한 또 다른 벡터를 얻게 됩니다 그 값에 선형변환 T를 적용시키면, 집합 A에 속하는 또 다른 벡터를 얻게 되는 것입니다 T와 S의 합성을 정의해봅시다 정의가 될 거에요 T와 S의 합성을 다음과 같이 정의해봅시다, 먼저 S를 X에 속하는 어떠한 벡터에 적용합니다 여기에 도달하기 위해서 X에 속하는 어떤 벡터에 S를 적용시킵니다 그 다음에, 그 벡터가 집합 Z로 도달하도록 T를 적용시킵니다 T를 적용시킵니다 이것이 선형변환은 맞는 것인지 의문이 들 수도 있습니다 또, 두 개의 선형변환의 합성은 선형변환일까요? 선형변환이 되기 위해서는 두 가지를 만족해야합니다 두 벡터의 합의 선형변환을 더한 것은 각각을 더해서 선형변환한 것과 같아야합니다 말로만 해서는 이해하는데 어려움이 있겠죠 X의 두 벡터의 합에 대하여 합성을 적용시켜보도록 합시다 벡터 x와 벡터 y의 합으로 해볼게요 정의에 의해서, 이것은 무엇과 같을까요? 두 벡터의 합 x+y에 적용된 선형변환 S에 적용된 선형변환 T와 같을 것입니다 이것은 무엇과 같죠? 이번 강의의 첫 부분에서 S는 선형변환이라고 말했습니다 그러므로 선형변환의 정의에 의해서, S(x+y)는 S(x)+S(y)와 같겠죠? S는 선형변환이니까요 그러므로 이것은 참일것입니다 이것과 이것은 결국 같은 말이라는 것이죠 우리는 또한 T가 선형변환이라는 것을 압니다 그 말은 곧, 두 벡터의 합에 적용된 변환은 각각의 벡터를 변환한 것을 더한 것과 같다는 뜻입니다 S(x)의 변환과, 그러니까 x에 적용된 S변환에 적용된 T변환과, 용어들이 헷갈리기 시작하죠, y에 적용된 S변환에 적용된 T변환을 더한 것과 같습니다 T가 선형변환임을 알기에 이렇게 쓸 수 있습니다 이 부분은 무엇일까요? 이 부분은 T와 S의 합성, T⚬S가 x에 적용된 것과 T⚬S가 y에 적용된 것을 더한 것과 같습니다 T와 S가 모두 선형변환이라는 사실을 알고 있으므로 첫 번째 조건을 충족하지요 두 벡터의 합에 적용된 합성이 각각의 벡터에 적용된 합성을 더한 것과 같다는 점이 선형변환에 필요한 첫 번째 조건입니다 두 번째 조건은, X에 속하는 벡터의 스칼라배에 적용시켜야 합니다 T와 S의 합성, T⚬S이 어떠한 집합 X에 속하는 벡터 x의 스칼라배에 적용되었다고 합시다 이것은 벡터 x이며 이것은 집합 X입니다 집합을 나타내는 X는 대문자여야합니다 이것은 무엇과 같을까요? 합성의 정의에 의하면, 이것은 c에 벡터 x를 곱한 것에 적용된 S변환에 적용된 T변환과 같습니다 이것은 무엇과 같을까요? 이것은 선형변환이라는 것을 압니다 S는 선형변환이므로, 이 부분을 다음과 같이 바꿔쓸 수 있을 것입니다 c와 x를 곱한 것에 선형변환S를 적용한 것이 x에 선형변환을 적용한 것에 c를 곱한 것과 같다는 뜻이지요 S가 선형변환이기 때문에 가능한 것입니다 이미 여러 번 했었죠 이제 어떠한 벡터의 스칼라배에 적용된 T변환으로 넘어가봅시다 같은 방식으로 해볼 수 있어요 T가 선형변환이라는 것을 압니다 이것은 다음과 같습니다, 어떠한 벡터 x에 적용된 S변환에 적용된 T변환에 c를 곱한 것과 같습니다 이것은 또 무엇과 같을까요? 이것은 x에 T⚬S을 적용시킨 것에 상수 c를 곱한 것과 같습니다 선형변환에 대한 두 번째 조건도 만족시켰네요 합성은, 우리가 내린 정의에 의하면 선형변환이 확실합니다 이 말은 곧 T와 S의 합성은 어떠한 행렬로 쓸 수 있다는 말이 됩니다, 이렇게 써볼게요, 벡터 x에 적용된 T와 S의 합성, 합성변환은 어떠한 행렬에 벡터 x를 곱한 것과 같습니다 그렇다면 행렬의 차원은 어떻게 될까요? n차원의 공간에서 시작하므로 n개의 열, l차원의 공간으로 가겠군요 그러므로 l개의 행이 있겠네요 l×n의 행렬이 되겠습니다 이번 강의에서는 이쯤 하도록 하죠 20분이 넘는 강의를 너무 많이 제작했다는 사실을 깨달았어요 다음 강의에서는, 이것이 변환임을 알고, 변환을 행렬과 벡터의 곱으로 쓸 수 있다는 것을 아니까 이 행렬을 어떻게 표현할지, 특히 S와 T 변환을 정의하는 두 행렬에 대하여 집중적으로 알아보겠습니다