정규직교기저란?

벡터들의 집합이 있습니다 집합 B라고 하겠습니다 v1, v2, ...vk까지의 벡터가 있습니다 임의의 벡터 집합이 아니라고 가정해 보겠습니다 이 벡터 집합에는 흥미로운 점이 몇 가지 있습니다 먼저 이 벡터들은 모두 길이가 1입니다 그래서 벡터 vi의 길이가 1이라고 할 수 있습니다 i가 1과 k 사이인 경우, 혹은 i가 1, 2, ...k와 같을 때에 말입니다 이들은 모두 길이가 1입니다 혹은 이들의 길이의 제곱이 1이라고 할 수도 있습니다 길이가 1인 vi의 제곱 말입니다 모든 i에 대해 vi와 vi의 내적이 1이기도 합니다 i는 1, 2, 3, ...k가 될 수 있습니다 이러한 집합이 지닌 첫 번째 흥미로운 성질입니다 풀어서 써 보겠습니다 B의 모든 벡터는 길이가 1입니다 다르게 말하자면 이들이 모두 정규화 되었습니다 이들이 모두 정규화 되었다는 것을 보이는 다른 방식입니다 이들은 모두 단위벡터이기도 합니다 정규화된 벡터란 길이를 1로 만든 벡터입니다 이들을 단위벡터로 만든 것입니다 이들은 모두 정규화 되었습니다 집합 B가 지닌 첫 번째 흥미로운 성질입니다 다음으로 흥미로운 점은 집합 B의 모든 벡터들이 서로 직교한다는 것입니다 어떤 벡터를 그 자신과 내적하면 길이 1을 얻습니다 그러나 어떤 벡터를 다른 벡터와 내적하면 그러니까 벡터 vi를 벡터 vj와 내적한다고 합시다 벡터 v2를 벡터 v1과 내적하게 되면 i와 j가 서로 다른 경우 0이 됩니다 이들은 모두 서로 직교한다는 것입니다 한번 적어 보겠습니다 모든 벡터는 서로 직교합니다 물론 이들은 길이가 1이기 때문에 그들 자신에 대해서는 직교하지 않습니다 어떤 벡터를 그 자신과 내적하면 1을 얻게 되는 것입니다 그러나 어떤 벡터를 서로 다른 벡터와 내적하면 0을 얻게 됩니다 이렇게 적어 보겠습니다 vi와 vj의 내적은 집합의 모든 원소에 대해 i와 j가 서로 같지 않은 경우 0과 같다 그리고 만약 i와 j가 같다면 즉 그 자신에 대해 내적하게 되면 길이 1을 갖게 됩니다 i와 j가 같은 경우 길이 1이 되는 것입니다 특별한 집합을 얻었습니다 이들은 모두 길이가 1이고 서로 직교합니다 모두 정규화 되었으며 서로에 대해 직교합니다 이를 부르는 특별한 용어가 있습니다 이를 정규직교집합이라 합니다 그래서 B는 정규직교집합입니다 정규란 정규화 되었다는 뜻입니다 모두가 서로 직각입니다 이들은 모두 서로에 대해 직교합니다 그리고 모두가 정규화 되었습니다 모든 원소가 길이 1을 지닙니다 이러한 정규직교집합의 첫 번째 흥미로운 점은 이들이 선형독립인 집합이라는 것입니다 만약 집합 B가 정규직교한다면 B는 선형독립입니다 이를 어떻게 증명할 수 있을까요? 먼저 이러한 집합이 선형독립이 아니라고 가정해 봅시다 집합 B의 원소인 vi와 vj를 골라 봅시다 그리고 i가 j와 같지 않다고 가정해 보겠습니다 우리는 이 집합이 정규직교집합임을 이미 알고 있습니다 그래서 vi와 vj의 내적은 0이 됩니다 이들은 서로 직교합니다 집합 B에 속한 두 벡터이기 때문입니다 이제 이들이 서로 선형종속이라고 가정해 봅시다 이들이 선형독립임을 증명하고 싶은데 이러한 증명을 위해 이들이 서로 선형종속이라고 가정한 뒤 가정이 모순이라는 것을 보이고자 합니다 그러니 우선 vi와 vj가 선형종속이라고 가정해 보겠습니다 어느 하나를 다른 하나의 스칼라배로 나타낼 수 있다는 뜻입니다 어느 쪽으로 선택하건 말입니다 논의를 위해 벡터 vi가 벡터 vj의 c배라고 합시다 선형종속이 의미하는 바입니다 어느 하나를 다른 하나의 스칼라배로 나타낼 수 있습니다 만일 그렇다면, 이를 vi 대신 대입할 수 있습니다 그러면 어떤 값이 나오나요? vj를 c배한 값을 얻게 되는데 이는 vi를 나타내는 다른 방식입니다 선형종속을 가정했기 때문입니다 vj와 vj의 내적은 0이 되어야 합니다 이건 vi고 이건 vj니까요 이들은 서로 직교합니다 그러나 여기의 이 값은 vj와 vj의 내적을 c배한 값인데 이는 vj의 길이의 제곱을 c배한 것과 같습니다 그리고 이는 0과 같아야 합니다 이들은 서로 직교하기 때문에 이 값은 0이 되어야 합니다 이는 vj의 길이가 0이라는 내용을 담고 있습니다 만일 c의 값이 0이 아닌 어떤 배수라고 하면 그리고 이 값은 0이 아니어야 하는데 왜냐하면 c가 0이 아니라고 가정했기 때문입니다 왜 이 값이 0이 아닌 배수여야 할까요? 이들이 모두 0이 아닌 벡터이기 때문입니다 이는 0이 아닌 벡터입니다 그래서 c 값은 0이 될 수 없습니다 이 벡터는 길이가 1입니다 만일 이 벡터가 영벡터가 아니라면 이 값이 0이 될 수 있는 방법이 없습니다 만일 0을 대입하면 영벡터를 얻게 되기 때문입니다 따라서 c는 0이 될 수 없습니다 그렇기 때문에 c가 0이 아니라면 이 값이 0이 되어야 합니다 그렇기 때문에 vj의 길이는 0이 됩니다 우리는 이가 거짓임을 알고 있습니다 vj의 길이는 1입니다 이는 정규직교집합입니다 B의 모든 원소의 길이는 1입니다 그래서 우리는 모순에 도달했습니다 이것이 우리의 모순입니다 vj는 영벡터가 아닙니다 vj는 1의 길이를 지닙니다 모순입니다 따라서 직교하는 벡터들이 있고 이들이 모두 영벡터가 아니라면 이들은 서로 선형독립이어야 합니다 상당히 흥미로운 사실입니다 만일 이러한 집합이, 이러한 정규직교집합이 있다면 이는 선형독립인 벡터들의 집합이기도 하기 때문에 부분공간의 기저가 됩니다 B가 어떤 부분공간 V의 기저라고 합시다 혹은 V가 v1, v2 ...vk의 생성이라고 합시다 그렇다면 B가 정규직교집합이면서도 정규직교기저라고 부를 수 있는데 어떤 부분공간을 생성하기 때문입니다 그렇기 때문에 B가 V에 대한 정규직교기저라고 할 수 있습니다 지금까지 매우 추상적인 내용을 다루었지만 간단한 예시를 들어 보겠습니다 실제 숫자로 이루어진 정규직교기저가 어떻게 생겼는지 이해시키기 위함입니다 두 벡터가 있습니다 벡터 v1이 있다고 해 봅시다 R3에 있는 벡터인데, 1/3, 2/3, 2/3입니다 그리고 다른 벡터 v2가 있는데 2/3, 1/3, -2/3입니다 B가 v1과 v2의 집합이라고 하겠습니다 첫 번째 질문은 이들 벡터의 길이가 얼마인가 하는 것입니다 길이를 구해 보겠습니다 v1의 길이의 제곱은 v1과 v1의 내적입니다 이는 1/3의 제곱인 1/9와 2/3의 제곱인 4/9 그리고 2/3의 제곱인 4/9의 합입니다 이는 1이 됩니다 따라서 길이의 제곱이 1이 되는 것은 첫 벡터의 길이가 1이 된다는 것입니다 길이의 제곱이 1이라면 제곱근을 취해 길이 1을 얻습니다 벡터 v2는 어떤가요? 벡터 v2의 길이 또한 v2와 v2의 내적과 같습니다 이는 2/3의 제곱인 4/9와 1/3의 제곱인 1/9 그리고 2/3의 제곱인 4/9의 합입니다 이 또한 9/9로 1이 됩니다 v2의 길이, 벡터 v2의 길이가 1이 된다는 것입니다 그래서 이 두 벡터가 정규화 되었다는 것을 알 수 있습니다 이는 정규화된 집합입니다 그런데 이 집합은 정규직교집합일까요? 두 벡터가 서로 직각인가요? 이를 알아보기 위해 이들의 내적을 계산합니다 v1과 v2의 내적은 1/3 곱하기 2/3, 2/9입니다 더하기 2/3 곱하기 1/3, 2/9입니다 더하기 2/3 곱하기 -2/3 이는 -4/9입니다 2 더하기 2 빼기 4는 0입니다 따라서 0이 됩니다 그렇기 때문에 이 두 벡터는 서로 직교합니다 B가 정규직교집합이 되는 것입니다 그리고 어떤 부분공간이 있다면 B라고 하겠습니다 즉 B가 v1과 v2의 생성과 같다면 V의 기저가 기저인 B가 V에 대한 정규직교기저라고 할 수 있습니다