이차방정식의 근의 공식 증명하기

지난 시간에는 ax^2 + bx + c = 0꼴의 이차방정식은 다음과 같이 근의 공식을 사용하여 해를 구할 수 있다는 것을 배웠습니다 그리고 그 사용법까지 배웠었죠 숫자를 그대로 공식에 대입을 하면 여기에 플러스 마이너스가 있기 때문에 해가 두 개 존재하죠 이번 강의에서는 이를 증명할겁니다 위의 식을 완전제곱 형식으로 고쳐서 아래에 있는 식을 얻을겁니다 완전제곱 형식으로 고치기 위해 첫번째로 할 일은 일단 식을 여기다 다시 쓰고 ax^2 + bx + c = 0 식 전체로 a로 나눌겁니다 그래서 여기 계수를 1로 만드는거죠 그래서 x^2 + (b/a)x + c/a =0 을 얻습니다 우변은 변화가 없죠 이제는 c/a를 우변으로 옮기기기 위해 양변에서 c/a를 빼고요 여기 c/a가 빠진 자리는 빈칸으로 내버려 두고 이 식을 얻습니다 완전제곱 형식을 얻기 위해 빈칸을 내버려 두었습니다 완전제곱 형식을 얻는 동영상에서 보았듯이 여기 있는 계수를 반으로 나누고 제곱하면 됩니다 그래서 b/a를 2로 나누거나 b/a에다가 1/2를 곱하면 당연히 b/2a가 되고 이를 제곱합니다 이걸 반으로 나누고 제곱하는거죠 2차 다항식의 완전제곱 형식을 얻기 위해 이 과정을 거치는거죠 물론 좌변에만 (b/2a)^2를 더할 수는 없습니다 양변에다 더해야죠 그래서 여기에도 (b/2a)^2를 더합니다 그럼 이제 어떻게 될까요? 여기 있는 식은 (x+b/2a)^2와 동일합니다 못믿으실까봐 전개를 해볼게요 (x+b/2a)^2는 (x+b/2a)*(x+b/2a)와 같죠 x*b/2a=(b/2a)x이고 여기 하나 더 있네요 b/2a*b/2a는 (b/2a)^2이고요 그래서 이 둘은 서로 같습니다 여기 가운데 항이 (b/a)x와 같기 때문이죠 그래서 이건 x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 즉 여기에 써놓은 식과 동일합니다 이게 양변에 이 항을 더한 이유입니다 완전제곱 식을 얻기 위해서요 그래서 좌변은 이걸로 단순화가 가능하고 우변은 그리 단순하지는 않지만 일단 내버려 두겠습니다 아니, 조금 단순화 시키겠습니다 그래서 우변은 다시 써서 여기 앞에다가 다시 써보면 초록색으로 쓰겠습니다 이건 b^2/4a^2로 다시 쓸 수 있죠 그리고 이거는 어떻게 써야 할까요? 4a^2를 분모로 만들기 위해 분모와 분자에 각각 4a를 곱해야겠죠 그래서 이 항은 -4ac/4a^2이 되겠죠 그리고 여러분이 직접 보일수도 있죠 제가 방금 분모와 분자에 각각 4a를 곱했으니까요 4와 a가 다 나누어져 이건 그냥 c/a가 되니까요 그래서 이건 서로 같습니다 그리고 쓰는 순서를 조금 바꿨죠 벌써 근의 공식을 일부 볼 수 있겠네요 이걸 다시 쓰겠습니다 여기 우변은 (b^2-4ac)/4a^2로 다시 쓸게요 뭔가 비슷해 보이네요 b^2-4ac가 벌써 보이니까요 아직 제곱근이 없지만 양변에 제곱근을 취하지 않았으니까요 지금 그래서 양번에 제곱근을 취하면 좌변은 x+b/2a가 되고 이거의 플러스 마이너스 제곱근과 동일하죠 그리고 이거의 제곱근은 분자의 제곱근/분모의 제곱근과 같죠 그래서 이건 플러스 마이너스를 붙이고 식이 이렇게 되겠죠 4a^2의 제곱근을 취하면 2a가 되니까요 (2a)^2=4a^2이잖아요 그래서 이게 저거의 제곱근입니다 여기로 이기 위해 그냥 제곱근을 취했습니다 이제 근의 공식과 매우 유사해보이네요 (b^2-4ac)/2a가 있으니까 이제 양변에 b/2a만 빼면 끝나겠네요 해봅시다 그래서 양변에 b/2a를 빼면 뭘 얻을까요? x는 이런 식과 동일하다는걸 알 수 있죠 2a를 공통분모로 가지네요 이 식은 이거와 동일합니다 색을 바꾸어 쓰자면 공통분모로 묶어서 이렇게 쓰겠습니다 그리고 끝났습니다 일반적인 계수들을 사용해서 완전제곱 형식으로 만드는 과정을 거쳐 근의 공식을 유도했습니다 이렇게요 즐거운 시간을 보냈길 바랍니다