원기둥의 부피와 겉넓이

입체도형의 부피와 겉넓이에 대해 알아봅시다 원기둥을 하나 그려 볼게요 원기둥의 윗부분이고 이것은 높이입니다 이것은 원기둥의 밑부분이에요 원기둥의 뒷부분도 그려 줄게요 음료수 캔 모양같죠? 원기둥의 높이를 h라고 합시다 h = 8 ㎝입니다 원기둥 윗부분의 반지름 r이 4 ㎝일 때 원기둥의 부피는 얼마일까요? 전에 풀었던 문제와 같은 방법으로 풀 수 있어요 윗면의 넓이와 높이를 알면 부피를 구할 수 있어요 먼저 원기둥 윗면의 넓이를 구해야 합니다 그 넓이를 높이와 곱하면 부피를 구할 수 있어요 원기둥 윗면의 넓이의 단위는 ㎠입니다 여기에 단위가 ㎝인 높이를 곱하면 부피의 단위는 ㎤가 될 거예요 원기둥 윗면의 넓이는 원 넓이를 구하는 것과 같아요 원을 한번 그려 볼게요 이 원의 반지름은 4 ㎝입니다 이 원의 넓이는 얼마일까요? 원의 넓이는 πr²이므로 π × (4 ㎝)²가 되겠죠 4² = 16이고 여기에 π를 곱하면 16π가 되겠죠 단위는 ㎠가 되므로 16π ㎠입니다 이것이 원기둥 윗면의 넓이입니다 원기둥의 부피는 윗면의 넓이 × 높이예요 따라서 부피는 윗면의 넓이 16π ㎠와 높이 8 ㎝의 곱인 16π ㎠ × 8 ㎝입니다 곱셈을 할 때 결합법칙을 사용하면 식을 재배열 할 수 있어요 곱셈을 할 때 계산 순서는 상관 없으므로 먼저 16 × 8을 계산해 봅시다 8 × 8 = 64이고 16 × 8은 이것의 두 배이므로 16 × 8 = 128입니다 π를 붙여줘야겠죠? 단위는 ㎠ × ㎝ = ㎤이므로 부피는 128π ㎤가 됩니다 π(파이)는 불규칙하게 계속되는 소수예요 3.14159... 이렇게 무한하게 뻗어나갑니다 그러므로 그냥 π라고 나타냅니다 이를 약 3.14로 두고 계산할 수도 있어요 π를 3.14로 두고 계산하면 3.14 × 128이므로 약 400 ㎤가 되겠네요 원기둥의 겉넓이는 어떻게 구할 수 있을까요? 원기둥의 윗면과 아랫면은 겉넓이의 한 부분입니다 원기둥의 윗면인 이 부분과 원기둥의 아랫면인 이 부분도 겉넓이에 포함되죠 그러므로 원기둥의 겉넓이를 구할 때는 윗면과 아랫면의 넓이도 더해줘야 합니다 윗면과 아랫면의 넓이는 16π ㎠에 2를 곱해주면 되겠죠 윗면과 아랫면의 넓이는 모두 16π ㎠이기 때문입니다 그러므로 윗면과 아랫면의 넓이는 2 × 16π ㎠입니다 이 넓이는 음료수 캔의 윗면과 아랫면의 넓이가 되겠죠 이제 옆면의 넓이를 구해 봅시다 옆면을 포장지로 두른다고 생각해 보세요 점선을 따라 옆면을 잘라 펼쳐본다면 어떻게 될까요? 옆면을 펼치면 사각형처럼 생겼을 거예요 이 부분의 길이는 이 길이와 같습니다 완전히 펼쳤을 때 양 끝 부분은 서로 맞닿아 있던 부분입니다 다른 색으로 표시해 볼게요 이 두 변은 원기둥에서 맞닿아있던 부분이에요 이 부분에서 서로 만나죠 그러므로 양 끝 변의 길이는 원기둥의 높이와 같습니다 따라서 이 변은 8 ㎝이고 이 변도 8 ㎝일 거예요 그렇다면 이 변의 길이는 얼마일까요? 이 변의 길이는 원기둥의 둘레와 같습니다 원기둥의 둘레는 원기둥의 윗면과 아랫면의 원주와 같습니다 원주를 구해 봅시다 이 원의 원주는 윗면의 원주와 같을 거예요 원주는 2 × r × π 또는 2πr이므로 윗면의 원주는 2π × 4 ㎝ = 8π ㎝입니다 따라서 이 변의 길이는 원기둥의 윗면 또는 아랫면의 원주와 같은 8π ㎝입니다 옆면의 겉넓이를 구하려면 옆면을 펼친 사각형의 넓이를 구하면 되겠죠 따라서 옆면의 넓이는 8 ㎝ × 8π ㎝입니다 이를 계산하면 64π ㎠가 되죠 원기둥 전체의 겉넓이는 원기둥의 윗면, 아랫면과 옆면의 넓이를 더해주면 됩니다 윗면과 아랫면의 넓이 2 × 16π ㎠에 옆면의 넓이 64π ㎠를 더해 봅시다 2 × 16π ㎠ + 64π ㎠를 계산해 봅시다 2 × 16π ㎠ = 32π ㎠이므로 32π ㎠ + 64π ㎠가 되겠죠 32 + 64 = 96이므로 96π ㎠가 됩니다 따라서 원기둥의 겉넓이는 96π ㎠입니다 π를 3.14로 계산해주면 300 ㎠를 조금 넘겠네요 겉넓이의 단위는 ㎠였습니다 겉넓이는 평면도형의 넓이이기 때문이죠 원기둥의 겉넓이에 단위정사각형이 얼마나 들어가는지 생각해 보는 거예요 부피의 단위는 ㎤였죠? 부피는 원기둥 안에 들어갈 수 있는 단위정육면체의 개수를 구하는 것이기 때문입니다 이때 단위정육면체는 가로, 세로, 높이가 각각 1 ㎝인 정육면체입니다 끝났습니다