변수가 두 개인 부등식의 그래프 그리기란?

부등식을 그래프에 그려 봅시다 y에 대한 부등식이 하나 있다고 해 봅시다 y는 4x+3보다 작거나 같습니다 이 조건들을 만족시키는 모든 x, y를 좌표평면에 표시하려고 합니다 그래서 '작거나 같다'를 '작다'와 '같다'로 나누는 것이 좋을 것 같습니다 왜냐하면 우리는 'y는 4x+3'과 같은 그래프 그리는 방법을 알고 있기 때문이죠 이 그래프는 4x+3보다 작거나 4x+3과 같을 수 있습니다 이것이 바로 '작거나 같다'의 의미입니다 그것은 작거나 같을 수 있습니다 첫 번째 문제를 이렇게 나눈 이유는 우리가 그것을 그래프로 그리는 방법을 알기 때문입니다 그래프를 그려 봅시다 조금 더 잘 그려볼께요 이것도 별로네요 이것이 y축인 세로축입니다 그리고 여기에 x축이 있습니다 우리는 y절편을 알 수 있습니다 y절편은 3입니다 따라서 점(0, 3)은 1,2,3 이 선 위에 있고 기울기가 4라는 것을 알고 있습니다 따라서 x축으로 1만큼 이동하면 y축으로는 4만큼 이동합니다 따라서 1,2,3,4 바로 여기 있겠네요 두 점을 찾았다면 선을 그리기에 충분합니다 x축에서 반대 방향으로 가도 괜찮습니다 만약 x축 방향으로 -1만큼 이동한다면 y축 방향으로 -4만큼 내려가면 됩니다 그래서 이 점도 역시 선 위에 있는 점이 될 것입니다 최선을 다해 선을 한 번 그려보면 좀 어렵지만 이렇게 보일 수 있겠네요 이런 선이 될 것입니다 일직선이 되겠죠 어떻게 하면 되는지 알겠나요? 저 선이 y=4x+3의 그래프입니다 그렇다면 '더 작다'의 의미가 무엇인지 생각해 봅시다 이 모든 점들이 부등식을 만족시키지만 더 있다는 이야기가 되겠죠 이것은 여기 있는 점들입니다 y가 4x+3보다 작은 경우는 어떨까요? 이것이 무엇을 의미하는지 생각해 봅시다 x값을 몇 개 다르게 넣어 봅시다 x가 0이면 부등식은 어떨까요? x가 0이면 y는 0+3 즉, 3 보다 작습니다 x가 -1이면 어떻게 될까요? 4 곱하기 -1은 -4이고 3을 더하면 -1입니다 y는 -1보다 작겠죠 x가 1일 때는 어떻게 될까요? 4 곱하기 1은 4이고 3을 더하면 7입니다 따라서 y는 7보다 작을 것입니다 이것들을 우선 그려 봅시다 x가 0일 때 이것부터 그려볼께요 x가 0일 때 y는 3보다 작습니다 그러면 여기 있는 모든 점들 제가 초록색으로 칠하고 있는 부분이죠 이 조건을 만족하는 곳입니다 만약 x가 -1일 때를 보면 y는 -1보다 작습니다 y는 이 아래의 모든 점들이어야 합니다 x가 1일 때에는 y는 7보다 작습니다 따라서 이 아래의 모든 점들입니다 일반적으로 여러분이 어떤 x를 고른다해도 여기에 있는 점을 x로 골랐다고 해보죠 4x+3의 값을 구한다면 선 위의 점을 얻게 될 것입니다 그 점은 x 곱하기 4 더하기 3입니다 그리고 그것을 만족하는 y값들은 선 위의 점과 같거나 혹은 작을 것입니다 그러면 선 아래에 있을 것입니다 만약 이것을 가능한 모든 x에 대해서 해 본다면 우리가 그렸던 선 위의 모든 점들 뿐만 아니라 그 선 아래의 모든 점들도 얻게 될 것입니다 우리는 이 부등식을 그래프로 표시해 보았습니다 결국 y=4x+3의 선과 그 아래에 있는 색칠된 모든 부분입니다 만약 이 부등식이 '작거나 같다'가 아니라 그냥 '작다'만 있었다면 우리는 이 선을 포함시키지 않으면 됩니다 그리고 이를 표현하는 방법은 점선으로 그리는 것입니다 이것은 그냥 y는 4x+3보다 작다를 표현할 때입니다 왜냐하면 그 상황에서는 이 선은 포함되지 않을 것이기 때문에 저 부분만 표시하면 되는 것입니다 그래서 그 선 자체는 조건에 만족되지 않으며 그 아래의 영역만 조건을 만족시킵니다 비슷한 것을 하나 더 해 봅시다 y > - (x-6)/ 2를 살펴 봅시다 시작하기 좋은 방법은 그래프에 이것이 같다고 그려주는 것입니다 재미를 위해서 그래프를 그려 볼께요 y는 -1/2 -6 과 같습니다 만약 그래프를 그린다면 저것이 세로축이고 저것이 가로축입니다 그리고 y절편은 -6입니다 그래서 1,2,3,4,5,6 저것이 y절편입니다 그리고 기울기는 - 1/2입니다 아, 저기에 x가 있어야 되죠 -1/2 x - 6입니다 기울기가 -1/2이니까 오른쪽으로 2만큼 가면 아래쪽으로 1만큼 갑니다 그러니까 오른쪽으로 2만큼 가면 아래쪽으로 1만큼 가겠죠 만약 왼쪽으로 - 2만큼 간다면 위쪽으로 1만큼 갑니다 그러면 선은 이렇게 그려질 것입니다 최선을 다해서 이 선을 그렸습니다 이 선이 y는 - 1/2 x - 6과 같은 경우입니다 그런데 이 부등식은 '크거나 같다'가 아니라 그냥 '크다'입니다 - 1/2 x - 6 보다 크다입니다 이전과 같은 논리로 아무 x나 고르고 저 x를 우리가 고른 특별한 x라고 해 봅시다 -(x/ 2)- 6의 값을 구하면 여러분은 저기에 점을 얻을 것이고 그 점은 선 위에 있을 것입니다 그런데 그 부등식을 만족하는 y는 그 점의 y보다 큽니다 따라서 그것은 선 위의 점이 아닙니다 실제로 여러분은 색칠하지 않은 원을 그려야 하는데 - 1/2x - 6 의 점을 포함할 수 없기 때문입니다 하지만 그것보다 큰 모든 y값은 됩니다 이것은 어떤 x에 대해서나 성립합니다 이 x를 생각해 봅시다 -x/2 - 6의 값을 구하면 선 위의 이 점을 얻을 것입니다 그것을 만족하는 y는 그 위에 있는 모든 y들입니다 모든 y는 위에 있습니다 이 부등식을 만족하는 모든 y들은 이 방정식을 만족시키는 모든 좌표들은 선 위쪽에 있는 모든 영역입니다 이 선은 포함되지 않습니다 그래서 이 선을 점선으로 그립니다 최선을 다해서 점선으로 바꿔 보겠습니다 선 위의 부분들을 지워보면 점선처럼 보일수도 있겠네요 실선을 점선으로 바꾸는 이유는 저 선은 경계일 뿐 이 부등식을 만족시키지 않는 좌표들이기 때문입니다 부등식을 만족시키는 좌표들은 선 위에 제가 지금 색칠하는 노란색 부분입니다 도움이 되셨기를 바랍니다