일차함수 vs. 지수함수: 데이터에 대하여

1950년부터의 상수리나무와 자작나무의 가지수가 다음 표에 나타나있다 상수리나무는 시간이 0일 때 34 가지가 있습니다 3년 후에는 46 가지, 등등 자작나무도 비슷합니다 처음에는 8 가지, 10년 후에는 33 가지 이런식입니다 표에 있는 자료들을 일반화하는 것이 이번 강의의 학습목표입니다 함수를 이용해 일반화를 시도하려면 우리가 사용할 방법은 다른 방법도 있지만, 이번 강의에서 사용할 방법은 1차 함수와 지수 함수입니다 어느 방법이 이 자료를 일반화하는데 더 적절할까요? 상수리나무부터 봅시다 해답에 대한 열쇠는, 각각의 단계에서, 이건 3년이네요 일정한 시간이 지났을 때 가지수가 어떻게 되는가? 일정하게 변할 것인가, 설사 대략적이라 하더라도 그때는 1차 함수가 적절할 겁니다 아니면 기존의 값에 대해 종속적으로 변할 것인가? 무슨 말 하는지 아시겠나요? 34에서 46으로 +12 46에서 59로 +13 59에서 70으로 +11 70에서 82로 +12 일정한 변화량은 아니라고 물을 수 있습니다 평균적으로 12에 분포하는 것 같습니다 하지만 현실 세계의 자료들을 보면 절대 정확한 것은 얻을 수 없습니다 일반화는 그저 좋은 틀에 불과합니다 시간에 따른 가지의 개수에 대한 좋은 추측을 줄 뿐입니다 저는 년도마다 12개의 가지라고 봐도 무방합니다 이제 1차 함수를 만들어봅시다 시간에 대한 가지의 수가 함수로 적당할 겁니다 명확히 하자면, 해마다 12 가지가 아닙니다 3년마다 12 가지입니다 여긴 3년마다 13 가지 여긴 3년마다 11 가지 3년마다 평균 12 가지로 통입합시다 가지의 수를 살펴보면 34 가지에서 시작합니다 그리고 - 12가지가 3년 마다 생기면, 4가지가, +로 고칩시다 4가지가 1년마다 생깁니다 한번 시험해봅시다 B(0)=34 B(12) 극단적인 경우만 함수에서 살펴봅시다 B(12)= 34 + 48 =82 함수가 괜찮게 들어맞네요 몇몇 경우에는 자료가 정확히 들어맞지 않는 일이 발생할텐데요 지금은 잘 맞네요 이쪽은 1차 1차 함수입니다 자작나무도 봅시다 시간이 0일 때, 일정한 시간의 변화, 시간은 일정한 변화량을 갖습니다 시간이 흐르면 10년 단위로 변합니다 가지 수의 변화를 살펴봅시다 8에서 33 변화량은 +25 가지 33에서 128 25 가지보단 훨씬 많습니다 변화는 100-5 이므로 +95 가지가 됩니다 자명하게 1차 함수는 아닌 듯 합니다 그럼 지수 함수로 한번 생각해봅시다 얼마를 곱해야지... 맞게 했나요? 128 빼기, 네, 133이었다면 100이므로 5 작으니깐, 네 맞습니다 이제 지수 함수로 한번 생각해봅시다 지수 함수로써 각 단계마다 얼마를 곱해야 하나요? 시간이 일정하게 변할 때, 가지 수를 증가시키기 위해 얼마를 곱해야 합니까? 8에서 33으로 갈 때, 대략 4 정도 됩니다 4보단 조금 크겠습니다 33에서 128, 4보단 조금 작겠습니다, 그래도 대략 4 정도입니다 33*4=132, 충분히 가깝습니다 128에서 512, 정확히 4입니다, 맞죠? 정확하게 120*4=480 +32, 네, 4 맞습니다 *4 10년마다 4를 곱하는 것처럼 보입니다 한 가지 생각할 수 있는건 이때, BFT, 시간 T에 대한 가지 수는, 초기 조건, 초기 상태는 8이고 공약수는 4라고 할 수 있습니다 하지만 T가 연 단위이므로, 10년마다 4를 곱합니다 따라서 지수를 1로 만들기 전에 T가 10이 되어야 하고, 지수가 2가 되기 전에 T가 20이 되어야 합니다 그러므로 8*4^(T/10) 이 괜찮은 식으로 보입니다 스스로 확인해 볼 수도 있습니다 B(30)이 뭔지 봅시다 B(30)=8*4^(30/10) B(30)=8*4^(3) 값은 4^3=64 64 8*63= 480+32 512입니다 다시 한번, 지수함수는 이 자료에 꽤 잘 들어맞습니다